[论文解读] Solving Weighted Voting Game Design Problems Optimally: Representations, Synthesis, and Enumeration

Bart de Keijzer, Tomas Klos+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2012

Game Theory and Voting Systems参考文献 46被引用 9

一句话总结

本文提出了一种精确的、可随时终止的算法，用于求解加权投票博弈设计问题，通过最优合成与目标权力指数分布匹配的加权投票博弈。该方法引入了一种新颖的输出多项式时间枚举算法，实现了对加权投票博弈空间的高效搜索，并通过在归一化Banzhaf指数上的实验验证了其有效性，尽管具有指数级时间复杂度，仍能在小规模实例上实现收敛。

ABSTRACT

We study the inverse power index problem for weighted voting games: the problem of finding a weighted voting game in which the power of the players is as close as possible to a certain target distribution. Our goal is to find algorithms that solve this problem exactly. Thereto, we study various subclasses of simple games, and their associated representation methods. We survey algorithms and impossibility results for the synthesis problem, i.e., converting a representation of a simple game into another representation.
 We contribute to the synthesis problem by showing that it is impossible to compute in polynomial time the list of ceiling coalitions (also known as shift-maximal losing coalitions) of a game from its list of roof coalitions (also known as shift-minimal winning coalitions), and vice versa.
 Then, we proceed by studying the problem of enumerating the set of weighted voting games. We present first a naive algorithm for this, running in doubly exponential time. Using our knowledge of the synthesis problem, we then improve on this naive algorithm, and we obtain an enumeration algorithm that runs in quadratic exponential time (that is, O(2^(n^2) p(n)) for a polynomial p). Moreover, we show that this algorithm runs in output-polynomial time, making it the best possible enumeration algorithm up to a polynomial factor.
 Finally, we propose an exact anytime algorithm for the inverse power index problem that runs in exponential time. This algorithm is straightforward and general: it computes the error for each game enumerated, and outputs the game that minimizes this error. By the genericity of our approach, our algorithm can be used to find a weighted voting game that optimizes any exponential time computable function. We implement our algorithm for the case of the normalized Banzhaf index, and we perform experiments in order to study performance and error convergence

研究动机与目标

• 通过寻找一个权力指数分布尽可能接近给定目标的博弈，解决加权投票博弈设计的逆问题。
• 开发一种精确的、通用的算法，能够在加权投票博弈上优化任意指数时间可计算的函数。
• 通过使用剪枝启发式方法的穷举枚举，改进现有局部搜索方法，提供最优性保证。
• 分析在实际问题规模下枚举加权投票博弈的计算复杂性和可行性。
• 通过实验评估算法在小规模实例上的误差收敛性和运行时间性能。

提出的方法

• 提出一种朴素的枚举算法，以二重指数时间运行，生成所有加权投票博弈。
• 通过利用屋顶联盟与顶棚联盟之间的合成结果，改进枚举过程，将时间复杂度降低至二次指数时间（$O(2^{n^2} \cdot p(n))$）。
• 为加权投票博弈引入偏序关系，以指导系统化搜索，并实现对次优区域的剪枝。
• 开发一种可随时终止的算法，计算每个枚举博弈的误差，并返回迄今找到的最佳解。
• 在枚举过程中使用线性规划技术计算每个博弈的归一化Banzhaf指数。
• 实现算法的非优化版本，以研究小规模实例（$n \leq 9$）上的运行时间和误差收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用基于精确枚举的方法最优求解权力指数投票博弈设计问题？
• RQ2 能否设计一种在输出多项式时间内运行的加权投票博弈枚举算法？
• RQ3 屋顶联盟与顶棚联盟之间的合成问题能否在多项式时间内求解，还是其本质上是困难的？
• RQ4 在可随时终止的算法中，误差收敛速度如何？运行时间与解质量之间存在何种权衡？
• RQ5 能否利用加权投票博弈上的偏序关系剪枝大量搜索空间，同时保持最优性保证？

主要发现

• 该枚举算法在输出多项式时间内运行，尽管问题的最坏情况规模为二重指数级，但其性能已达到多项式因子内的最优。
• 无法在多项式时间内从屋顶联盟计算出顶棚联盟（或反之），这确立了合成问题的根本困难性结果。
• 当 $n = 10$ 时，算法的运行时间变得难以处理，当前实现的估计完成时间达数年至数千年，表明亟需进一步优化。
• 对于 $n \leq 9$，该算法成功计算出具有 $m$ 个最小获胜联盟的规范加权投票博弈的确切数量，验证了已知的渐近增长模式。
• 实验中观察到误差收敛，但随着 $n$ 增大，收敛速度显著减慢，表明在缺乏进一步优化的情况下，其实际应用受到限制。
• 该算法具有通用性，可被适配用于优化加权投票博弈上任意指数时间可计算的函数，而不仅限于权力指数。