[論文レビュー] The Eichler cohomology theorem for Jacobi forms

Dohoon Choi, Subong Lim|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、制御された成長を示す正則関数の空間を用いて、ジャコビ群に対するコホモロジー群を定義することで、エイクラー・コホモロジー理論をジャコビ形式へ拡張する。任意の実重みに対するエイクラー・コホモロジー同型定理を証明し、第一コホモロジー群が部分L関数の臨界値を介して、ジャコビ尖状形式の空間に同型であることを示す。

ABSTRACT

Let $Γ$ be a finitely generated Fuchsian group of the first kind which has at least one parabolic class. Eichler introduced a cohomology theory for Fuchsian groups, called as "Eichler cohomology theory", and established the $\CC$-linear isomorphism from the direct sum of two spaces of cusp forms on $Γ$ with the same integral weight to the Eichler cohomology group of $Γ$. After the results of Eichler, the Eichler cohomology theory was generalized in various ways. For example, these results were generalized by Knopp to the cases with arbitrary real weights. In this paper, we extend the Eichler cohomology theory to the context of Jacobi forms. We define the cohomology groups of Jacobi groups which are analogues of Eichler cohomology groups and prove an Eichler cohomology theorem for Jacobi forms of arbitrary real weights. Furthermore, we prove that every cocycle is parabolic and that for some special cases we have an isomorphism between the cohomology group and the space of Jacobi forms in terms of the critical values of partial $L$-functions of Jacobi cusp forms.

研究の動機と目的

• ジャコビ群のコホモロジー理論を精緻化し、これまで無限次元のコホモロジー群を生じさせてきた問題を解消すること。
• エイクラーの元々の定理に類似したコホモロジー同型を、ジャコビ形式の文脈で確立すること。
• 第一コホモロジー群が部分L関数の臨界値を介して、ジャコビ尖状形式の空間に同型であることを証明すること。
• コホモロジー群に含まれるすべてのコサイクルが放物型であることを示し、以前の定式化における主要な構造的問題を解決すること。
• ノップの実重みエイクラー・コホモロジーをジャコビ設定へ一般化し、整数重みを超えた理論の拡張を図ること。

提案手法

• 重み $k$、インデックス $\mathcal{M}$、乗数系 $\chi$ を持つ、$\Gamma^{(1,j)} = \Gamma \ltimes (\mathbb{Z}^{(j,1)})^2$ のジャコビ群に対して、$\tau$ および $z$ における制御された成長を示す正則関数の空間 $\mathcal{P}^e_{\mathcal{M}}$ を用いてコホモロジー群を定義する。
• スラッシュ作用素 $|_{k,\mathcal{M},\chi}$ および $|_{\mathcal{M}}$ を用いた、重み $k$、インデックス $\mathcal{M}$、乗数系 $\chi$ の作用を導入する。
• 短完全系列 $0 \to \mathcal{P}^e_{\mathcal{M}} \to \mathcal{P}_{\mathcal{M}} \to \mathcal{P}_{\mathcal{M}}/\mathcal{P}^e_{\mathcal{M}} \to 0$ に付随するコホモロジーの長完全系列を用いて、$H^1$ の構造を分析する。
• 部分L関数の臨界値を介して、$H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}^e_{\mathcal{M}})$ がジャコビ尖状形式の空間 $S_{k,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)})$ に同型であることを証明する。
• $n>0$ および $r_1 \notin \mathbb{Z}$ の場合に、$H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}_{\mathcal{M}})$ に属する非自明なコサイクル $\{p^{n,r}_{(\gamma,X)}\}$ を明示的に構成し、コホモロジー群が無限次元であることを示す。
• コサイクル $p^{n,r}_{(0,\mathbf{e}_1)} = q^n e^{2\pi i \mathrm{tr}(rz)}$ がコバウンダリーでないことを示し、非自明なコホモロジー類の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エイクラー・コホモロジー理論は、任意の実重みを持つジャコビ形式へ拡張可能か？
• RQ2 ジャコビ群に対して、ジャコビ尖状形式の空間に同型であるコホモロジー群が存在するか？
• RQ3 先行研究（例：[3]）で定義されたコホモロジー群が無限次元である理由は何か？ そして、それらを有限次元のコホモロジーに精緻化するにはどうすればよいか？
• RQ4 部分L関数の臨界値は、コホモロジー類とジャコビ形式を結ぶ役割を果たすか？
• RQ5 コホモロジー群に含まれるすべてのコサイクルが放物型であるか？ そして、これはコホモロジー空間の構造にどのように影響するか？

主な発見

• 第一コホモロジー群 $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}^e_{\mathcal{M}})$ は、部分L関数の臨界値を介して、ジャコビ尖状形式の空間 $S_{k,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)})$ に同型である。
• コホモロジー群 $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}_{\mathcal{M}})$ は、$n>0$ および $r_1 \notin \mathbb{Z}$ の場合に、非可算個の線形独立なコサイクル $\{p^{n,r}_{(\gamma,X)}\}$ を構成することで、無限次元であることが示された。
• コサイクル $p^{n,r}_{(0,\mathbf{e}_1)} = q^n e^{2\pi i \mathrm{tr}(rz)}$ はコバウンダリーでないため、非自明なコホモロジー類が存在することが示された。
• $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}^e_{\mathcal{M}})$ から $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}_{\mathcal{M}})$ への写像は単射であるため、精緻化されたコホモロジー群は元のものよりも厳密に小さいことが示された。
• $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}^e_{\mathcal{M}})$ に含まれるすべてのコサイクルが放物型であることが確認され、エイクラーの元々の定理に類似した構造的性質が裏付けられた。
• $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}_{\mathcal{M}})$ は $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}^e_{\mathcal{M}})$ よりも厳密に大きいことが確認され、精緻化された定義が有限次元性を回復するために必要であることが示された。