[論文レビュー] The join construction

Egbert Rijke|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、命題的切断を仮定せずに、有限のジョインパワーの余極限として写像 $f:A\to X$ の像を定義するためのホモトピー型理論における「ジョイン構成」を導入する。ジョイン接続性定理を証明し、修正されたジョイン構成を用いて、集合商、レツク完備化、$n$-切断を、グラフ商に関して閉じた同一性の宇宙内で構成する。像への近似は接続性が増加することが示される。

ABSTRACT

In homotopy type theory we can define the join of maps as a binary operation on maps with a common co-domain. This operation is commutative, associative, and the unique map from the empty type into the common codomain is a neutral element. Moreover, we show that the idempotents of the join of maps are precisely the embeddings, and we prove the `join connectivity theorem', which states that the connectivity of the join of maps equals the join of the connectivities of the individual maps. We define the image of a map $f:A o X$ in $U$ via the join construction, as the colimit of the finite join powers of $f$. The join powers therefore provide approximations of the image inclusion, and the join connectivity theorem implies that the approximating maps into the image increase in connectivity. A modified version of the join construction can be used to show that for any map $f:A o X$ in which $X$ is only assumed to be locally small, the image is a small type. We use the modified join construction to give an alternative construction of set-quotients, the Rezk completion of a precategory, and we define the $n$-truncation for any $n:\mathbb{N}$. Thus we see that each of these are definable operations on a univalent universe for Martin-Löf type theory with a natural numbers object, that is moreover closed under homotopy coequalizers.

研究の動機と目的

• ホモトピー型理論において命題的切断を仮定せずに写像 $f:A\to X$ の像を構成すること。
• ジョイン構成が、接続性が増加する像への近似の系列を生じることを示すこと。
• 局所的に小さな型へと、修正されたジョイン構成を用いてこの構成を拡張すること。
• この方法を用いて、集合商、前圏のレツク完備化、およびグラフ商に関して閉じた同一性の宇宙内での $n$-切断を定義すること。

提案手法

• 共通の余域を持つ二つの写像のジョインを、可換かつ結合的で、空写像を単位元とする二項演算として定義する。
• $f:A\to X$ の像を、$f$ の有限ジョインパワーの余極限として構成し、段階的に接続性が高まる近似の系列を得る。
• 「ジョイン接続性定理」を証明する。この定理は、写像のジョインの接続性が、個々の写像の接続性のジョインに等しいと述べる。
• 余域 $X$ が局所的に小さい場合にのみ対応できるように、修正されたジョイン構成を導入し、像が小さな型のまま保たれることを保証する。
• 修正された構成を用いて、関係の像として集合商を定義し、コアプレゼンティング写像の像としてレツク完備化を定義する。
• $n\in\mathbb{N}$ すべての $n$ に対して、適切な写像にジョイン構成を適用することで $n$-切断を構成し、与えられた型理論的設定で定義可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピー型理論における写像の像は、命題的切断やパスコンストラクタを備えた高次の帰納型を仮定せずに構成可能か？
• RQ2 写像のジョインと接続性の関係は何か？この関係を「ジョイン接続性定理」として形式化可能か？
• RQ3 余域が局所的に小さい場合に、ジョイン構成を適応可能か？この場合に像が小さな型のまま保たれるか？
• RQ4 修正されたジョイン構成を用いて、グラフ商に関して閉じた同一性の宇宙内での集合商、レツク完備化、$n$-切断を定義可能か？
• RQ5 写像 $f:A\to X$ のジョインパワーの系列は、像への接続性が増加する近似を生成するか？

主な発見

• 写像のジョインは可換かつ結合的であり、空型からの唯一の写像が単位元である。
• ジョイン写像のイデムポテンスは、正確に埋め込みである。
• ジョイン接続性定理が成立する：写像のジョインの接続性は、個々の写像の接続性のジョインに等しい。
• 余域 $X$ が局所的に小さい任意の写像 $f:A\to X$ の像は、修正されたジョイン構成を用いて小さな型として構成可能である。
• $f$ のジョインパワーの系列は、接続性が増加する像への近似を生成する。
• グラフ商に関して閉じた同一性の宇宙内では、命題的リサイズや再帰的高次帰納型を必要とせず、集合商、前圏のレツク完備化、およびすべての $n\in\mathbb{N}$ に対する $n$-切断が構成可能である。