[論文レビュー] The matching polytope has exponential extension complexity

Thomas Rothvoß|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 26被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、完全 $n$ 頂点グラフにおける完全マッチングポリトープの拡張複雑度が $2^{\bar{\Omega}(n)}$ であることを証明し、多項式サイズの線形計画法による表現が不可能であることを示している。この結果は、長年の未解決問題を解決するものであり、追加変数が存在しても制約数が $n$ に対して指数関数的に増加することを示しており、TSPポリトープの下界を $2^{\bar{\Omega}(n)}$ にまで強化している。

ABSTRACT

A popular method in combinatorial optimization is to express polytopes P, which may potentially have exponentially many facets, as solutions of linear programs that use few extra variables to reduce the number of constraints down to a polynomial. After two decades of standstill, recent years have brought amazing progress in showing lower bounds for the so called extension complexity, which for a polytope P denotes the smallest number of inequalities necessary to describe a higher dimensional polytope Q that can be linearly projected on P. However, the central question in this field remained wide open: can the perfect matching polytope be written as an LP with polynomially many constraints? We answer this question negatively. In fact, the extension complexity of the perfect matching polytope in a complete n-node graph is 2^Omega(n). By a known reduction this also improves the lower bound on the extension complexity for the TSP polytope from 2^Omega(n^1/2) to 2^Omega(n).

研究の動機と目的

• 拡張複雑度の中心的未解決問題に取り組む：完全マッチングポリトープが多項式サイズの線形計画法によって表現可能かどうか。
• 完全グラフにおける完全マッチングポリトープの拡張複雑度に対して、超多項式下界を確立する。
• 既知の還元を用いて、この下界をTSPポリトープへ拡張する。
• すべての $\varepsilon > 0$ に対して、マッチングポリトープの $(1+\varepsilon)$-近似の拡張複雑度に対してタイトな境界を提供する。
• マッチングポリトープの近似における既知の上界と下界の差を埋める。

提案手法

• 通信複雑度からの長方形被覆法を拡張複雑度の下界を証明するために適応する。
• Fiorini らによって以前に確立された、指数的拡張複雑度を持つ相関ポリトープへの還元を用いる。
• 長方形破壊補題と通信複雑度の技術を用いて、スラック行列の非負ランクを分析する。
• 奇数カット不等式の構造を活用して、部分グラフの拡張複雑度を元のグラフへ関連付けるリフト構成を構築する。
• 双対性の議論を用いて、マッチングポリトープを $1+\varepsilon$ 要因以内に近似する任意のポリトープは、高い拡張複雑度を持つ必要があることを示す。
• Braun と Pokutta (2014) の結果をスケーリングおよび部分グラフ制限技術と組み合わせ、すべての $\varepsilon$ に対してタイトな境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全 $n$ 頂点グラフにおける完全マッチングポリトープは、多項式個の制約を持つ線形計画法として表現可能か？
• RQ2 完全マッチングポリトープの正確な拡張複雑度は何か？ そして $n$ と共に指数的に増加するか？
• RQ3 マッチングポリトープの $(1+\varepsilon)$-近似の拡張複雑度は、$\varepsilon$ の関数としてどのように振る舞うか？
• RQ4 マッチングポリトープからの還元を用いて、TSPポリトープの下界を $2^{\Omega(\sqrt{n})}$ よりも向上させられるか？
• RQ5 線形計画法に対する指数的下界が得られたにもかかわらず、完全マッチングポリトープに対して多項式サイズの半定値計画法の定式化が存在するか？

主な発見

• 完全 $n$ 頂点グラフにおける完全マッチングポリトープの拡張複雑度は $2^{\Omega(n)}$ であり、多項式サイズの線形定式化が不可能であることを証明している。
• TSPポリトープの拡張複雑度も $2^{\Omega(n)}$ であり、以前の下界 $2^{\Omega(\sqrt{n})}$ よりも向上している。
• 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、マッチングポリトープの $(1+\varepsilon)$-近似の拡張複雑度は、少なくとも $2^{\Omega(\min\{1/\varepsilon, n\})}$ 以上である。
• 非対称拡張定式化に対してもこの結果は成り立ち、マッチングポリトープの多項式サイズのLPが存在しないことを排除する。
• $\varepsilon \ll 1/\log n$ の場合、指数の定数係数を除いて下界はタイトであり、この範囲では上界も存在する。
• マッチングポリトープの拡張複雑度に指数的下界が存在することは、追加変数が存在しても多項式サイズのLPによる表現が不可能であることを示している。