[论文解读] The spectral gap of dense random regular graphs

Konstantin Tikhomirov, Pierre Youssef|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文建立了稠密随机正则图谱间隙的紧致上界，表明在 $ n^\alpha \leq d \leq n/2 $ 范围内，以高概率第二大的特征值的绝对值至多为 $ C_\alpha \sqrt{d} $，从而证实了Vu的猜想。证明依赖于一种新型的集中不等式，用于具有指定度序列的有向随机图邻接矩阵上的线性形式，结合Freedman的鞅不等式与张量化技术。

ABSTRACT

For any $α\in (0,1)$ and any $n^α\leq d\leq n/2$, we show that $λ(G)\leq C_α\sqrt{d}$ with probability at least $1-\frac{1}{n}$, where $G$ is the uniform random $d$-regular graph on $n$ vertices, $λ(G)$ denotes its second largest eigenvalue (in absolute value) and $C_α$ is a constant depending only on $α$. Combined with earlier results in this direction covering the case of sparse random graphs, this completely settles the problem of estimating the magnitude of $λ(G)$, up to a multiplicative constant, for all values of $n$ and $d$, confirming a conjecture of Vu. The result is obtained as a consequence of an estimate for the second largest singular value of adjacency matrices of random {\it directed} graphs with predefined degree sequences. As the main technical tool, we prove a concentration inequality for arbitrary linear forms on the space of matrices, where the probability measure is induced by the adjacency matrix of a random directed graph with prescribed degree sequences. The proof is a non-trivial application of the Freedman inequality for martingales, combined with boots-trapping and tensorization arguments. Our method bears considerable differences compared to the approach used by Broder, Frieze, Suen and Upfal (1999) who established the upper bound for $λ(G)$ for $d=o(\sqrt{n})$, and to the argument of Cook, Goldstein and Johnson (2015) who derived a concentration inequality for linear forms and estimated $λ(G)$ in the range $d= O(n^{2/3})$ using size-biased couplings.

研究动机与目标

• 解决在所有 $ d \in [n^\alpha, n/2] $ 范围内估计均匀随机 $ d $-正则图谱间隙 $ \lambda(\mathbf{G}) $ 的开放问题，其中 $ \alpha \in (0,1) $。
• 提供第二大的特征值绝对值 $ \lambda(\mathbf{G}) $ 的紧致、高概率上界，最多相差一个乘法常数。
• 将现有结果从稀疏情形推广至稠密情形，完整刻画所有 $ d \leq n/2 $ 下的 $ \lambda(\mathbf{G}) $。
• 为具有固定入度与出度序列的随机有向图邻接矩阵上的线性形式，建立一个通用的集中不等式。
• 构建一个灵活的框架，可应用于随机正则图之外的场景，潜在应用于随机矩阵理论与图扩张研究。

提出的方法

• 将无向随机正则图问题简化为分析具有指定度序列的随机有向图邻接矩阵的第二大奇异值。
• 提出一种针对行和与列和固定的 $ 0 $-$ 1 $ 矩阵空间中任意线性形式的新集中不等式，利用Freedman的鞅不等式。
• 采用自举法与张量化技术，强化高维设定下的集中界。
• 通过邻接矩阵右上角的约化，将无向情形与有向情形联系起来。
• 应用文献[26]中的结果，将全图的谱范数与子矩阵的谱范数关联，条件依赖于度序列。
• 定义集合 $ \mathbf{Deg}_\ell(d,\delta) $ 以捕捉具有次高斯尾部行为的典型度序列，确保集中性以高概率成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ d \in [n^\alpha, n/2] $ 时，稠密随机 $ d $-正则图的第二大的特征值绝对值的精确渐近行为是什么？
• RQ2 在全部稠密范围内，均匀随机 $ d $-正则图的谱间隙能否以高概率被 $ O(\sqrt{d}) $ 控制？
• RQ3 如何将邻接矩阵上线性形式的集中不等式推广至具有固定度序列的结构化随机矩阵？
• RQ4 在多大程度上可以通过子矩阵及其度序列的分析来控制随机正则图的谱范数？
• RQ5 Vu关于渐近谱间隙 $ (2+o(1))\sqrt{d - d^2/n} $ 的猜想是否在 $ d \leq n/2 $ 的均匀模型中成立？

主要发现

• 对于任意 $ \alpha \in (0,1) $ 且 $ n^\alpha \leq d \leq n/2 $，第二大的特征值绝对值满足 $ \lambda(\mathbf{G}) \leq C_\alpha \sqrt{d} $，概率至少为 $ 1 - n^{-m} $，其中 $ m \in \mathbb{N} $ 为任意固定整数。
• 对于所有 $ d \leq n/2 $，有 $ \lambda(\mathbf{G}) = O(\sqrt{d}) $ 以高概率成立，完整刻画了谱间隙在所有度数下的行为。
• 该结果证实了Vu的猜想，即在均匀模型中 $ \lambda(\mathbf{G}) = (2+o(1))\sqrt{d - d^2/n} $，最多相差一个常数因子。
• 建立了针对具有固定度序列的有向图邻接矩阵上线性形式的新集中不等式，具有指数尾部界。
• 该方法导出了 $ \frac{1}{\sqrt{d}}(\mathbf{M} - \mathbb{E}\mathbf{M}) $ 的谱测度，以高概率支持于一个长度恒定的区间内。
• 证明技术具有鲁棒性与通用性，依赖于鞅不等式与张量化，与以往使用大小偏移耦合或对称图分解的方法有本质区别。