[论文解读] The symplectic geometry of cotangent bundles from a categorical viewpoint

Kenji Fukaya, Paul Seidel+1 more|ArXiv.org|May 23, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 10

一句话总结

该论文通过引入卷曲Fukaya范畴与族Fukaya上同调，推进了余切丛Fukaya范畴的范畴理解，实现了对$T^*Z$中精确、自旋拉格朗日子流形（当$Z$为单连通、自旋时）与零截面之间拟同构关系的统一证明，其上同调同构且交点数最小化边界一致。

ABSTRACT

We describe various approaches to understanding Fukaya categories of cotangent bundles. All of the approaches rely on introducing a suitable class of noncompact Lagrangian submanifolds. We review the work of Nadler-Zaslow (math/0604379, math/0612399) and the authors (math/0701783), before discussing a new approach using family Floer cohomology and the ``wrapped Fukaya category''. The latter, inspired by Viterbo's symplectic homology, emphasises the connection to loop spaces, hence seems particularly suitable when trying to extend the existing theory beyond the simply-connected case.

研究动机与目标

• 将对余切丛中精确拉格朗日子流形的理解拓展至经典Arnol'd猜想之外，尤其在非单连通或高维情形下。
• 建立一个范畴框架——具体而言是卷曲Fukaya范畴——以通过非紧致拉格朗日子流形捕捉余切丛的辛拓扑性质。
• 通过共同的范畴语言，统一三种独立方法（Nadler-Zaslow、Fukaya-Seidel-Smith，以及一种新的族Fukaya上同调方法）。
• 证明当$T^*Z$中精确、自旋的拉格朗日子流形的Maslov类为零时，其与零截面在上同调上等价，推广了四维情形下的已知结果。
• 为拉格朗日子流形提供层论解释，以群环上的模形式表达，尤其当$Z$为Eilenberg-MacLane空间时。

提出的方法

• 引入$M = T^*Z$的卷曲Fukaya范畴$\mathcal{W}(M)$，其包含非紧致拉格朗日子流形（如余切纤维），并允许对辛拓扑进行范畴化处理。
• 利用族Fukaya上同调$HF^*(T^*_x, L)$构造一个在底空间$Z$上定义的平坦$\mathbb{Z}$-分次向量丛$E_L$，以编码拉格朗日子流形$L$的交点行为。
• 构造一个收敛于$HF^*(L,L) \cong H^*(L;\mathbb{K})$的谱序列，其$E_2$-项为$H^r(Z; \mathrm{End}^s(E_L))$，在单连通性与$E_L$平凡性的假设下该谱序列退化。
• 利用$Z$单连通性导致的$E_L$平凡性，推导出$H^*(L;\mathbb{K}) \cong H^*(Z;\mathbb{K})$，从而得出投影$L \to Z$的次数为$\pm1$。
• 当$Z = K(\Gamma,1)$时，利用$A_\infty$-函子$\mathcal{W}(M) \to \mathrm{mod}(CW^*(T^*_x, T^*_x))$，通过$\mathbb{K}[\Gamma]$上的$A_\infty$-模来建模$\mathcal{W}(M)$，其上同调同构于$E_L$。
• 在$\mathrm{Ext}^r_{\mathbb{K}[\Gamma]}(N_L, N_L[1-r])$中应用障碍理论以检测$A_\infty$-模的正式性，并利用有限覆叠在正特征情形下消除障碍，当$H^*(\Gamma;\mathbb{K})$在度数1上生成时成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 卷曲Fukaya范畴的范畴框架能否为$T^*Z$中精确拉格朗日子流形的Arnol'd猜想提供统一证明？
• RQ2 族Fukaya上同调与$\mathbb{K}[\Gamma]$-模上的$A_\infty$-模结构如何反映$T^*Z$中拉格朗日子流形的拓扑性质？
• RQ3 在何种条件下，可通过有限覆叠使与拉格朗日子流形$L$相关的$A_\infty$-模变为正式模，尤其在正特征情形下？
• RQ4 Maslov类与自旋结构在拉格朗日子流形$L$与零截面之间的范畴等价性中起何作用？
• RQ5 在不假设$E_L$平凡性的前提下，能否利用从$E_2$到$HF^*(L,L)$的谱序列推导出$L$的上同调不变量？

主要发现

• 对于一个闭的、单连通的、自旋的流形$Z$，若其Maslov类为零，则任意精确、自旋的拉格朗日子流形$L \subset T^*Z$在投影到$Z$时的次数为$\pm1$，且对任意域$\mathbb{K}$，有$H^*(L;\mathbb{K}) \cong H^*(Z;\mathbb{K})$。
• 当$E_L$平凡时，从$E_2^{rs} = H^r(Z; \mathrm{End}^s(E_L))$收敛于$HF^*(L,L)$的谱序列退化，从而推出$H^*(L;\mathbb{K}) \cong H^*(Z;\mathbb{K})$。
• 当$Z = K(\Gamma,1)$时，卷曲Fukaya范畴$\mathcal{W}(T^*Z)$完全嵌入于$\mathbb{K}[\Gamma]$上的$A_\infty$-模范畴，且其像位于自由模的子范畴中。
• 在正特征$p$下，若$H^*(\Gamma;\mathbb{K})$在度数1上生成，则存在$Z$的一个有限覆叠，使得提升后的拉格朗日子流形$\tilde{L}$在$\mathcal{W}(\tilde{M})$中同构于零截面。
• 与$L$相关的$A_\infty$-模$\mathcal{N}_L$是正式的（即拟同构于其上同调），当且仅当所有障碍项$\mathrm{Ext}^r_{\mathbb{K}[\Gamma]}(N_L, N_L[1-r])$消失，这在有利情形下可通过有限覆叠强制实现。
• 当$T^*Z$存在一个Lefschetz笔且其全局拇指为余切纤维（如在$T^*T^n \cong (\mathbb{C}^*)^n$上）时，该方法在特征$\neq 2$下避免了对未证明猜想的依赖。