[論文レビュー] The twisted Cartesian model for the double path fibration

Tornike Kadeishvili, Samson Saneblidze|ArXiv.org|Oct 15, 2002

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、立方体集合から順序体集合への切断型ねじれ関数を用いて、二重パスファイブレーションのねじれたデカルト積を導入し、ループ空間上のパスファイブレーションをモデル化する順序立方体集合を構成する。主な貢献は、Hirsch代数に対する乗法的ねじれたテンソル積の形式的理論であり、ねじれた積のチェーン複体がアサイクルコバービルド構成を実現し、Steenrodの$∣_1$作用素を一般化する作用素を介して$A_\infty$-コメルフォールド構造を備えることを示している。

ABSTRACT

In the paper the notion of truncating twisting function from a cubical set to a permutahedral set and the corresponding notion of twisted Cartesian product of these sets are introduced. The latter becomes a permutocubical set that models in particular the path fibration on a loop space. The chain complex of this twisted Cartesian product in fact is a comultiplicative twisted tensor product of cubical chains of base and permutahedral chains of fibre. This construction is formalized as a theory of twisted tensor products for Hirsch algebras.

研究の動機と目的

• 立方体集合および順序体集合を用いた二重パスファイブレーションの組み合わせ的モデルの構築。
• 立方体集合$Q$からモノイダル順序体集合$\mathbf{\Omega}Q$への普遍的な切断型ねじれ関数$\vartheta_U: Q \to \mathbf{\Omega}Q$の定義。
• $|Q|$上のパスファイブレーションをモデル化する順序立方体集合としてのねじれたデカルト積$Q \times_{\vartheta_U} \mathbf{\Omega}Q$の形式化。
• 立方体および順序体チェーンのねじれたテンソル積を通じたファイブレーションのチェーンレベルモデルの確立。
• ファイブレーションの全空間の乗法的構造を捉えるHirsch代数における乗法的ねじれたテンソル積の理論の構築。

提案手法

• 立方体集合$Q$からモノイダル順序体集合$\mathcal{Z}$への切断型ねじれ関数$\vartheta: Q_* \to \mathcal{Z}_{*-1}$の概念を導入する。
• 標準立方体への切断手続きを用いて、順序立方体集合としてのねじれたデカルト積$Q \times_\vartheta \mathcal{L}$を定義する。
• ループ空間$\Omega|Q|$をモデル化するモノイダル順序体集合$\mathbf{\Omega}Q$を持つ普遍的ねじれ関数$\vartheta_U: Q \to \mathbf{\Omega}Q$を構成する。
• チェーン複体$C^\boxminus_*(Q \times_{\vartheta_U} \mathbf{\Omega}Q)$がアサイクルコバービルド構成$\Omega(C^\Box_*(Q); C^\Box_*(Q))$と同型であることを示す。
• 順序立方体$B_n$に順序体の対角構造と整合する対角を明示的に定義し、それをコバービルド構成およびねじれたテンソル積へと輸送する。
• 順序体の対角から誘導される作用素$E^{p,q}$を用いて、$C^\Box_*(Q)$にHirschコメルフォールド構造を定義し、$E^{1,1}$が立方体の$\smile_1$作用素の双対であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 立方体集合および順序体集合を用いて、二重パスファイブレーションをどのように組み合わせ的にモデル化できるか？
• RQ2 普遍的切断型ねじれ関数$\vartheta_U$は、パスファイブレーションの函手的モデルを構築する上で果たす役割は何か？
• RQ3 ねじれたデカルト積のチェーン複体は、コバービルド構成およびアサイクルコバービルド構成とどのように関係するか？
• RQ4 順序体の対角は、コバービルド構成にどのように$A_\infty$-コメルフォールド構造を誘導するか？
• RQ5 Hirsch代数およびねじれたテンソル積を通じて、ファイブレーションの全空間の乗法的構造を代数的にどのように捉えることができるか？

主な発見

• ねじれたデカルト積$Q \times_{\vartheta_U} \mathbf{\Omega}Q$は、$|Q|$上のパスファイブレーションをモデル化する順序立方体集合である。
• チェーン複体$C^\boxminus_*(Q \times_{\vartheta_U} \mathbf{\Omega}Q)$は、アサイクルコバービルド構成$\Omega(C^\Box_*(Q); C^\Box_*(Q))$と同型である。
• コバービルド構成$\Omega C^\Box_*(Q)$は、順序体の対角から誘導される作用素$E^{p,q}$を介して$A_\infty$-コメルフォールド構造を備え、これは立方体の$\smile_1$コチェーン作用素を一般化する。
• チェーン複体$C^\ast_{\boxminus}(Q \times_{\vartheta} \mathbf{\Omega}Z)$の乗法的構造は、Hirsch代数構造によって捉えられ、微分および積は$E_{1,1}$および$f^\#$を含む明示的な式を満たす。
• 乗法的モデル$(H^\ast(Y) \otimes BH^\ast(Z), d_{\vartheta^\ast})$のコホモロジーは、$H^\ast(E_f)$と代数的に同型であり、$E_f$の乗法的構造が$C^\ast(S^2X)$上の$\smile$、$\smile_1$、$\smile_2$作用素にのみ依存することを示している。
• モデルにより、$f^\ast = g^\ast$ならば、$H^\ast(E_f) \cong H^\ast(E_g)$が代数的に成り立つことが示され、全空間の乗法的構造が底空間およびファイバーのコホモロジーにのみ依存することを示している。