[論文レビュー] Transposed Hom-Poisson and Hom-pre-Lie Poisson algebras and bialgebras

Ismail Laraiedh, Sergei Silvestrov|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2021

Advanced Topics in Algebra参考文献 83被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、転置ホム・ポアソン代数およびホム・プリ・リース代数の構造を導入し、それらの双加群、マッチドペア、およびマニン三重対構造を確立する。また、$ϴ$-作用素が転置ホム・ポアソン代数からホム・プリ・リース代数の構造を誘導することを証明し、可逆な$ϴ$-作用素が、転置ホム・ポアソン代数がホム・プリ・リース代数の部分隣接代数として現れる条件を特徴づけることを示している。

ABSTRACT

The notions of transposed Hom-Poisson and Hom-pre-Lie Poisson algebras are introduced. Their bimodules and matched pairs are defined and the relevant properties and theorems are given. The notion of Manin triple of transposed Hom-Poisson algebras is introduced, and its equivalence to the transposed Hom-Poisson bialgebras is investigated. The notion of $\mathcal{O}$-operator is exploited to illustrate the relations existing between transposed Hom-Poisson and Hom-pre-Lie Poisson algebras.

研究の動機と目的

• ホム代数枠組みにおけるポアソン代数およびプリ・リース代数の一般化として、転置ホム・ポアソン代数およびホム・プリ・リース代数の代数的構造を導入・形式化すること。
• 転置ホム・ポアソン代数に対して双加群およびマッチドペアを定義し、より複雑な代数的系の構成を可能にすること。
• 転置ホム・ポアソン代数に対してマニン三重対の概念を導入し、それが転置ホム・ポアソン双代数と同値であることを確立すること。
• ホム・プリ・リース代数の構造が、転置ホム・ポアソン代数から$ϴ$-作用素を介してどのように生成されるかを調査すること。
• 可逆な$ϴ$-作用素を用いて、転置ホム・ポアソン代数がホム・プリ・リース代数の部分隣接代数として同型である条件を特徴づけること。

提案手法

• 代数自己準同型$\alpha$によってねじれた、可換ホム・結合的積と、その$\alpha$を用いたねじれたリービッツ型恒等式を満たすリーブラケットを備えた、転置ホム・ポアソン代数を定義する。
• 可換ホム・結合的積と、特定の適合条件を満たすホム・プリ・リース積を備えた代数として、ホム・プリ・リース代数を定義する。
• 転置ホム・ポアソン代数に対して双加群およびマッチドペアを構成し、ホム代数の文脈における表現理論の一般化を可能にする。
• 転置ホム・ポアソン代数のマニン三重対を定義し、双対性と適合条件を用いて、それが転置ホム・ポアソン双代数と同値であることを証明する。
• 転置ホム・ポアソン代数の表現に$ϴ$-作用素を用いて、その基本モジュラス上にホム・プリ・リース代数の構造を誘導する。
• 転置ホム・ポアソン代数上に可逆な$ϴ$-作用素が存在するならば、その作用素によって誘導されるホム・プリ・リース代数の部分隣接転置ホム・ポアソン代数は、元の代数と同型であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホム代数の文脈において、ポアソン代数およびプリ・リース代数の概念をどのように一般化し、転置ホム・ポアソン代数およびホム・プリ・リース代数の構造を定義できるか？
• RQ2 転置ホム・ポアソン代数がホム・プリ・リース代数の部分隣接代数として現れるための必要十分条件は何か？
• RQ3 $ϴ$-作用素が、転置ホム・ポアソン代数からホム・プリ・リース代数の構造を構成する際に果たす役割は何か？
• RQ4 マニン三重対は、転置ホム・ポアソン双代数を特徴づけるために果たす役割は何か？
• RQ5 転置ホム・ポアソン代数の表現論と、適合するホム・プリ・リース代数の構造の構築との関係は何か？

主な発見

• 転置ホム・ポアソン代数の構造は、可換ホム・結合的積と、構造自己準同型$\alpha$を含むねじれたリービッツ恒等式を満たすリーブラケットによって定義される。
• 転置ホム・ポアソン代数から$ϴ$-作用素を介してホム・プリ・リース代数の構造を構成することは、代数的適合性を保ち、転置ホム・ポアソン代数の準同型を誘導することを証明した。
• ホム・プリ・リース代数の部分隣接転置ホム・ポアソン代数が、$ϴ$-作用素が可逆であるとき、元の転置ホム・ポアソン代数と同型である。
• 転置ホム・ポアソン代数上で可逆な$ϴ$-作用素が存在することは、その代数がホム・プリ・リース代数の部分隣接転置ホム・ポアソン代数と同型であるための必要十分条件である。
• 転置ホム・ポアソン代数上の恒等写像が、正規表現に関して$ϴ$-作用素であることは、その代数が適合するホム・プリ・リース代数の構造を持つための必要十分条件である。
• 転置ホム・ポアソン代数上にRota-Baxter作用素$R$が存在するとき、$x \diamond y = R(x)\cdot y + x\cdot R(y)$および$x \ast y = \{R(x), y\}$を用いてホム・プリ・リース代数の構造が誘導され、$R$が元の代数への準同型である。