[論文レビュー] Two-Dimensional Twisted Sigma Models And The Theory of Chiral Differential Operators

Meng-Chwan Tan|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、複素多様体上の正則ベクトル束上のねじれ$(0,2)$ヘテロティックシグマ模型を通じて、キラル微分作用素（CDO）の物理的解釈を確立する。異常は、頂点超代数の層の全域的定義における障害として対応しており、一 Loop ベータ関数が完全に正則データから導かれ、$\mathbb{CP}^1$ 上の半ねじれ$(2,2)$モデルにおける$SL(2)$現在代数がレベル$t$で現れることを示し、CDOのモジュライとWZW理論のレベルを結びつける。

ABSTRACT

In this paper, we study the perturbative aspects of a twisted version of the two-dimensional $(0,2)$ heterotic sigma model on a holomorphic gauge bundle $\mathcal E$ over a complex, hermitian manifold $X$. We show that the model can be naturally described in terms of the mathematical theory of ``Chiral Differential Operators". In particular, the physical anomalies of the sigma model can be reinterpreted in terms of an obstruction to a global definition of the associated sheaf of vertex superalgebras derived from the free conformal field theory describing the model locally on $X$. One can also obtain a novel understanding of the sigma model one-loop beta function solely in terms of holomorphic data. At the $(2,2)$ locus, where the obstruction vanishes for $\it{any}$ smooth manifold $X$, we obtain a purely mathematical description of the half-twisted variant of the topological A-model and (if $c_1(X) =0$) its elliptic genus. By studying the half-twisted $(2,2)$ model on $X=\mathbb {CP}^1$, one can show that a subset of the infinite-dimensional space of physical operators generates an underlying super-affine Lie algebra. Furthermore, on a non-Kähler, parallelised, group manifold with torsion, we uncover a direct relationship between the modulus of the corresponding sheaves of chiral de Rham complex, and the level of the underlying WZW theory.

研究の動機と目的

• ねじれ$(0,2)$ヘテロティックシグマ模型を通じて、キラル微分作用素（CDO）の数学的理論の物理的解釈を提供すること。
• モデルにおける異常を、頂点超代数の層の全域的定義が不可能な障害として、物理的起源を明確にすること。
• ターゲット多様体およびバンドルからの正則データのみを用いて、シグマ模型の一 Loop ベータ関数を導出すること。
• 非ケーラー的でねじれのある群多様体におけるCDOのモジュライと、下位のWZW理論のレベルとの間の対応を確立すること。

提案手法

• 複素多様体$X$上の正則ゲージバンドル$\mathcal{E}$上に、世界面場のスピン再定義を用いたねじれ$(0,2)$ヘテロティックシグマ模型を構築する。
• 摂動的領域における物理的演算子のキラル代数を分析し、局所的な自由$bc$-$\beta\gamma$系から導かれる頂点超代数の層と一致させること。
• セーレ・コhomologyを用いて観測関数の層のグローバル構造を記述し、全域的定義の障害が物理的異常として現れることを明らかにする。
• $\mathbb{CP}^1$ 上の半ねじれ$(2,2)$モデルにおける電流の演算子積展開（OPE）を計算し、$SL(2)$および$GL(1)$の電流代数がそれぞれレベル$t$および$-t$に現れることを同定する。
• 非自明な遷移関数における電流の変換を検討し、$t$依存項が層の整合的な全域的定義を可能にすることを示す。
• CDRパrameter $t$ を $SU(2)$ WZW理論のレベル$k$ と $k = t - 2$ の関係で結びつけることで、$t=0$ での整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キラル微分作用素の数学的理論は、ねじれヘテロティックシグマ模型を通じてどのように物理的に実現可能か？
• RQ2 モデルにおける頂点超代数の層の全域的定義の障害の物理的意味は何か？
• RQ3 $(0,2)$モデルの一 Loop ベータ関数は、ターゲット空間およびバンドルからの正則データのみで表現可能か？
• RQ4 非ケーラー的で平行化された群多様体上におけるCDOのモジュライ空間は、下位のWZW理論のレベルとどのように関係するか？
• RQ5 半ねじれ$(2,2)$モデルにおける$\mathbb{CP}^1$ 上の物理的演算子のキラル代数の構造は何か？また、無限次元リー代数を支持するか？

主な発見

• ねじれ$(0,2)$シグマ模型における物理的異常は、局所的な自由 conformal field theory から導かれる頂点超代数の層の全域的定義が不可能な障害として特定される。
• モデルの一 Loop ベータ関数は、ターゲット多様体および正則バンドル上の正則データによって完全に決定され、非正則補正を一切用いない。
• 半ねじれ$(2,2)$モデルにおける$\mathbb{CP}^1$ 上の物理的演算子のキラル代数には、超アフィンリー代数を生成する部分集合が含まれる。
• ねじれのある非ケーラー的で平行化された群多様体上では、CDO層のモジュラスは、下位のWZW理論のレベル$k$ と $k = t - 2$ の関係で直接関連づけられる。ここで$t$ はCDRパrameterである。
• 半ねじれモデルにおける$\mathbb{CP}^1$ 上の$SL(2)$および$GL(1)$の電流代数は、それぞれレベル$t$および$-t$に現れ、WZW対応と整合的であることが確認された。
• $\mathbf{S}^3 \times \mathbf{S}^1$ の${\overline{Q}}_+$-コホモロジーは正確で、インスタントン補正が存在しない。これは、ターゲット空間内に genus zero の正則曲線が存在しないからである。