[论文解读] Universal continuous bilinear forms for compactly supported sections of Lie algebra bundles and universal continuous extensions of certain current algebras

Jan Milan Eyni|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文为σ-紧流形上具有紧支集的李代数丛的截面的李代数构造了一个普遍连续不变双线性型，并建立了形如$A \otimes \mathfrak{g}$的电流代数的普遍连续中心扩张，其中$A$是一个局部凸代数，且为具有局部单位元的完备局部凸代数的归纳极限。关键贡献在于对Janssens与Wockel所使用的上链的连续性与普遍性提供了严格的证明，将先前的结果推广至$C^\infty_c(M, \mathfrak{g})$这一特例。

ABSTRACT

We construct a universal continuous invariant bilinear form for the Lie algebra of compactly supported sections of a Lie algebra bundle in a topological sense. Moreover we construct a universal continuous central extension of a current algebra that is the tensor product of a finite-dimensional Lie algebra g and a certain topological algebra A. In particular taking A as the compactly supported smooth functions on a sigma-compact manifold M, we obtain a more detailed justification for a recent result of Janssens and Wockel concerning a universal extension for the Lie algebra of compactly supported g-valued smooth functions on M.

研究动机与目标

• 为σ-紧流形$M$上具有紧支集的李代数丛$\mathfrak{K}$的光滑截面的李代数$C^\infty_c(M, \mathfrak{K})$构造一个普遍连续不变双线性型。
• 为Janssens与Wockel在构造$C^\infty_c(M, \mathfrak{g})$的中心扩张时所使用的普遍上链提供严格的连续性证明。
• 将普遍连续中心扩张的构造推广至电流代数$A \otimes \mathfrak{g}$，其中$A$为具有局部单位元的完备局部凸代数的归纳极限。
• 证明该类代数$A$包含$C^\infty_c(M)$，从而涵盖具有紧支集的光滑函数的情形。

提出的方法

• 通过商空间$V^{T}_{\mathfrak{g}} = S^2(\mathfrak{g}) / \overline{\text{span}}\{[x,y]\vee z - x\vee[y,z]\}$构造普遍连续不变双线性型，并通过丛$V(\mathfrak{K})$将其上延至截面。
• 在$C^\infty_c(M, \mathfrak{K}) \times C^\infty_c(M, \mathfrak{K})$上定义双线性型$\kappa_{\mathfrak{g}}(\eta, \zeta) = \kappa_{\mathfrak{g}} \circ (\eta, \zeta)$，取值于$V(\mathfrak{K})$。
• 使用典范上链$\omega(f,g) = [\kappa_{\mathfrak{g}}(f, dg)]$在$\Omega^1_c(M, V_{\mathfrak{g}})/d(C^\infty_c(M, V_{\mathfrak{g}}))$中定义一个普遍连续的2-上链。
• 通过验证其作为映射到商空间$\Omega^1_c(M, V_{\mathfrak{g}})/d(C^\infty_c(M, V_{\mathfrak{g}}))$的连续性，证明上链$\omega$的连续性。
• 通过证明每个连续2-上链均通过一个连续线性映射唯一地通过$\omega$，建立扩张的普遍性。
• 利用局部凸空间的Whitehead定理，证明当$\mathfrak{g}$半单时有$H^2_{ct}(\mathfrak{g}, V) = 0$，从而表明上链在$\mathfrak{g}$上为内上链，支持扩张的普遍性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个普遍连续不变双线性型，定义在σ-紧流形$M$上具有紧支集的李代数丛$\mathfrak{K}$的截面的李代数$C^\infty_c(M, \mathfrak{K})$上？
• RQ2 取值于$\Omega^1_c(M, V_{\mathfrak{g}})/d(C^\infty_c(M, V_{\mathfrak{g}}))$的上链$\omega(f,g) = [\kappa_{\mathfrak{g}}(f, dg)]$是否对$C^\infty_c(M, \mathfrak{g})$是连续且普遍的？
• RQ3 能否将电流代数$A \otimes \mathfrak{g}$的普遍连续中心扩张扩展至那些为具有局部单位元的完备局部凸代数的归纳极限的代数$A$？
• RQ4 Janssens与Wockel对$C^\infty_c(M, \mathfrak{g})$的普遍扩张构造，其缺失的连续性证明是否可被补全？
• RQ5 该类代数$A$的范围是否足够广泛，足以包含σ-紧流形$M$的$C^\infty_c(M)$？

主要发现

• 在$C^\infty_c(M, \mathfrak{K})$上构造了取值于向量丛$V(\mathfrak{K})$的普遍连续不变双线性型，该丛通过在典型纤维$\mathfrak{g}$上逐纤维应用普遍型$\kappa_{\mathfrak{g}}$得到。
• 证明了取值于$\Omega^1_c(M, V_{\mathfrak{g}})/d(C^\infty_c(M, V_{\mathfrak{g}}))$的上链$\omega(f,g) = [\kappa_{\mathfrak{g}}(f, dg)]$是连续的，填补了Janssens与Wockel原始构造中的一个空白。
• 为代数$A$（其为具有局部单位元的完备局部凸代数的归纳极限）的电流代数$A \otimes \mathfrak{g}$建立了普遍连续中心扩张，该类代数包含σ-紧流形$M$的$C^\infty_c(M)$。
• 该扩张具有普遍性，即$A \otimes \mathfrak{g}$上的每个连续2-上链均通过一个连续线性映射唯一地通过$\omega$。
• 普遍性证明依赖于半单李代数$\mathfrak{g}$时$H^2_{ct}(\mathfrak{g}, V)$的消失，这由局部凸空间的Whitehead定理保证。
• 该构造确认了Janssens–Wockel上链确实是普遍且连续的，为他们在$C^\infty_c(M, \mathfrak{g})$上的结果提供了完整证明。