[論文レビュー] Weak convergence and invariant measure of a full discretization for non-globally Lipschitz parabolic SPDE

Jianbo Cui, Jialin Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非グローバルリプシッツ係数をもつ放物型確率偏微分方程式（SPDE）に対して、スペクトルガレルキン空間離散化と陰的エイラー時刻積分を用いた完全離散化を提案する。弱収束率が $\delta t^\gamma + \lambda_N^{-\gamma}$ であり、これは本質的に鋭いものであり、強発散性および非退化性条件のもとで数値不変測度の収束を証明する。この分析にはマリヤン・カculusとコルモゴロフ方程式の時間に依存しない正則性推定が用いられる。

ABSTRACT

Approximating the invariant measure and the expectation of the functionals for parabolic stochastic partial differential equations (SPDEs) with non-globally Lipschitz coefficients is an active research area and is far from being well understood. In this article, we study such problem in terms of a full discretization based on the spectral Galerkin method and the temporal implicit Euler scheme. By deriving the a priori estimates and regularity estimates of the numerical solution via a variational approach and Malliavin calculus, we establish the sharp weak convergence rate of the full discretization. When the SPDE admits a unique $V$-uniformly ergodic invariant measure, we prove that the invariant measure can be approximated by the full discretization. The key ingredients lie on the time-independent weak convergence analysis and time-independent regularity estimates of the corresponding Kolmogorov equation. Finally, numerical experiments confirm the theoretical findings.

研究の動機と目的

• 非グローバルリプシッツ係数をもつ放物型SPDEの完全離散化における鋭い弱収束率の欠如を解決すること。
• 適切な発散性および非退化性条件のもとで、数値不変測度が真のSPDEの不変測度に収束することを確立すること。
• 完全離散化と関連するコルモゴロフ方程式に対する時間に依存しない事前推定および正則性推定を開発すること。
• 多項式成長をもつ $C^2_p(H)$ 機能的へ弱収束解析を拡張すること。

提案手法

• 空間離散化にスペクトルガレルキン法、時刻積分に陰的エイラー法を組み合わせる。
• 変分的アプローチとマリヤン・カculusを用いて、数値解およびそのマリヤン・導関数の事前推定と正則性推定を導出する。
• ビズミ・エルフォーリ・リ公式と確率的PDEと元のSPDEとの同値性を用いて、コルモゴロフ方程式の時間に依存しない正則性を確立する。
• イトの公式をスコロホド積分に適用し、半群設定における最大原理の喪失を扱うためにソボレフ–ガリャルド–ニレングェルク不等式を用いる。
• エルゴディシティと数値解の時間に依存しないバインドを保証するため、強発散性および非退化条件を導入する。
• 指数的減衰推定と数値解の一様有界性を用いて、$C^2_p(H)$ 機能的への解析を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非グローバルリプシッツ係数をもつ放物型SPDEの完全離散化における鋭い弱収束率は何か？
• RQ2 適切な条件下で、このようなSPDEの不変測度は完全離散化によって近似可能か？
• RQ3 完全離散化に対するコルモゴロフ方程式の時間に依存しない正則性推定はどのように導出可能か？
• RQ4 エルゴディシティおよび数値不変測度の収束を保証する条件は何か？
• RQ5 弱収束解析は多項式成長をもつ機能的へ拡張可能か？

主な発見

• 完全離散化は、$\gamma \in (0, \beta)$ かつ $\beta \in (0,1]$ のもとで、本質的に鋭い弱収束率 $\delta t^\gamma + \lambda_N^{-\gamma}$ を達成する。
• 強発散性および非退化性の下で、数値不変測度はSPDEの真の不変測度に収束する。
• 変分的およびマリヤン・カculus技術を用いて、数値解およびそのマリヤン・導関数の時間に依存しない事前推定が確立される。
• コルモゴロフ方程式の正則性推定が時間に依存しないことが示され、長時間にわたる弱収束解析が可能になる。
• 数値実験により、円形ウィーナー過程（$\kappa = 0$）では弱収束次数0.5、滑らかなノイズ（$\kappa = 0.5, 2$）では次数1が確認された。
• 数値手法はエルゴディック性を示す：異なる初期値からの機能的平均が、時間とともに同じ値に収束する。これは $\lambda_F > \lambda_1$ の場合でも成立する。