[論文レビュー] Weak Solutions of the Stochastic Landau-Lifshitz-Gilbert Equation

Zdzisław Brzeźniak, Beniamin Gołdys|ArXiv.org|Dec 31, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、有界な3次元領域における確率的ランダウ＝リフシッツ＝ギルバート方程式に対して、ストラトノビッチ型の乗法的で空間に依存するノイズを伴う弱マルティングール解の存在を確立する。ガラーキン近似とコンパクトネス法を用いて、球面 $\mathbb{S}^2$ に値をとる解の存在を証明し、決定論的ケースですら新たな正則性結果を示す。

ABSTRACT

The Landau-Lifshitz-Gilbert equation perturbed by a multiplicative space-dependent noise is considered for a ferromagnet filling a bounded three-dimensional domain. We show the existence of weak martingale solutions taking values in a sphere $\mathbb S^2$. The regularity of weak solutions is also discussed. Some of the regularity results are new even for the deterministic Landau-Lifshitz-Gilbert equation.

研究の動機と目的

• 有界な3次元領域における確率的ランダウ＝リフシッツ＝ギルバート方程式に対する弱マルティングール解の存在を確立すること。
• フェロ磁性体における熱的揺らぎをモデル化するため、ストラトノビッチ型の乗法的で空間に依存するノイズを組み込むこと。
• 決定論的ケースを越えて、特に $\mathbb{S}^2$ に制約された解に関して、存在性と正則性結果を拡張すること。
• 磁化が一様でない3次元フェロ磁性体へと薄膜の結果を拡張するという未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• ストラトノビッチ型ノイズを伴う $L^2(D, \mathbb{R}^3)$ 上の変化方程式として確率的LLG方程式を定式化する。
• フェアド＝ガラーキン近似を用いて、有限次元解の列を構成する。
• 近似解に対して $L^p$ およびソボレフノルムにおける一様な事前評価を確立する。
• コンパクトネス法、特にバナッハ＝アラオグルの定理とリオンズ＝オービンの補題を用いて収束する部分列を抽出する。
• $W^{\alpha,q}(0,T;B_1) \cap L^p(0,T;B_0)$ から $L^p(0,T;B)$ へのコンパクト埋め込みを用いて極限に移行する。
• 伊藤＝ストラトノビッチ補正および確率積分の性質を用いて、弱形式におけるノイズ項を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元領域における乗法的で空間に依存するノイズを伴う確率的ランダウ＝リフシッツ＝ギルバート方程式に対して、弱マルティングール解が存在するか。
• RQ2 解がほとんど確実に $\mathbb{S}^2$ に値をとること、つまり単位長さ制約 $|u(t,x)| = 1$ がすべての $t,x$ で満たされることを示せるか。
• RQ3 このような弱解に対してどのような正則性特性が確立できるか、特に決定論的ケースと比較して。
• RQ4 コンパクトネス法が、非線形性と球面値制約を含むこの種の確率的偏微分方程式に適用可能か。

主な発見

• 本稿は、乗法的ストラトノビッチ型ノイズを伴う有界な3次元領域における確率的LLG方程式に対して、弱マルティングール解の存在を証明する。
• 解は、すべての $t,x$ に対してほとんど確実に $|u(t,x)| = 1$ を満たす。
• 存在証明は、ガラーキン近似とコンパクトネスの議論に依拠しており、ベゾフ＝スロボデツキー空間および埋め込み定理の利用を含む。
• 弱解に関して新たな正則性結果が得られ、これらは決定論的設定ですら新規である。
• 近似列のtightnessを証明するために、埋め込み結果 $L^p(0,T;B_0) \cap W^{\alpha,q}(0,T;B_1) \hookrightarrow L^p(0,T;B)$ が中心的な役割を果たす。
• 1次元ノイズに適用可能であり、$d$次元ノイズへの一般化は僅かな修正で可能である。