[論文レビュー] Wheeled props in algebra, geometry and quantization

Sergei Merkulov|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 42被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、代数、幾何学、および量子化における統一的枠組みとしてホイール付きプロップスを導入し、非線形微分方程式の解を図的「ゲノム」として符号化する役割を示している。特に、ポアンカーレ構造に対してLie 1-双代数がその例である。主たる貢献は、dg Lie 1-双代数と量子BV多様体の間の対応関係を確立することであり、ホモトピー転送公式はバタリン＝ヴィルコビッツ量子化におけるファインマン図式展開と同値である。

ABSTRACT

These are expanded notes of author's talk at the ECM 2008 attempting to give an elementary introduction into the main ideas of the theory of wheeled props for beginners, and also a survey of its most recent major applications (ranging from algebra and geometry to deformation theory and Batalin-Vilkovisky quantization) which might be of interest to experts.

研究の動機と目的

• 初心者向けにホイール付きプロップスの理解を容易にする導入と、最近の応用分野における高レベルな数学および理論物理学への応用のサーベイを提供すること。
• ホイール付きプロップスを通じて、幾何的・物理的構造の導来圏と単純な代数的対象との深い関係を確立すること。
• 微分幾何学および物理学における主要な非線形微分方程式の解空間が、コンパクトな図的データの解体として得られるホイール付きプロップスによって制御されることを示すこと。
• 準古典的極限とコhomological構造を尊重する射を備えた、量子BV多様体の圏を形式化すること。
• この文脈におけるKoszul双対性に基づく∞-構造のホモトピー転送が、量子場理論におけるファインマン図式展開と同値であることを示すこと。

提案手法

• 代数的構造とその関係をグラフの言語で表現し、それらをホイール付きプロップスに符号化された「ゲノム」として扱う。
• Koszul双対性理論を用いて、dg Lie 1-双代数からコホモロジーへの∞-構造の転送を行い、量子マスター関数を生成する。
• 量子BV多様体を、量子マスター方程式を満たす量子微分ΔΓを備えた形式的多様体として定義する。
• 準古典的に分解可能な量子BV多様体の概念を導入し、ラグランジュイデアルとコホモロジー構造を保存する射を構成する。
• 装飾付きグラフの和を用いてホモトピー転送公式を導出し、これは量子場理論におけるファインマン図式と形式的に類似している。
• ∞-プロップス𝒰ℒie¹ℬ∞の表現と、任意のdgベクトル空間Vに対しV ⊕ V*[1]の形をとる形式的多様体上の量子BV構造との間に一対一対応が存在することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホイール付きプロップスは、多様な数学的および物理的理論における代数的・幾何的構造を符号化する統一的言語としてどのように機能するか？
• RQ2 dg Lie 1-双代数と量子BV多様体の間の明確な関係は何か？ そして、ホモトピー転送を用いてどのように形式化できるか？
• RQ3 この文脈における∞-構造のホモトピー転送公式が、量子場理論におけるファインマン図式展開とどの程度一致するか？
• RQ4 任意の量子的準古典的に分解可能なBV多様体は、最小的かつ可縮的成分に分解可能であり、これはコホモロジー分類にどのような意味を持つのか？
• RQ5 幾何的および物理的構造の導来圏は、ホイール付きプロップスに符号化された単純な図的データの解体とどのように関係するか？

主な発見

• 局所的ポアンカーレ構造方程式の解空間は、2つの生成子と特定の関係から構成されるLie 1-双代数のホイール付きプロップスによって制御される。
• 任意のdgベクトル空間Vに対し、∞-プロップス𝒰ℒie¹ℬ∞の表現と、V ⊕ V*[1]の形をとる形式的多様体上の量子BV多様体構造との間に一対一対応が存在する。
• 任意の量子的準古典的に分解可能なBV多様体は、最小的多様体と可縮的多様体の積と同型であり、したがって任意のこのような多様体は最小的多様体と quasi-isomorphic である。
• Koszul双対性に基づく∞-構造のホモトピー転送により得られる公式は、量子場理論におけるファインマン図式展開と同一であり、特にBF型場理論において顕著である。
• dg Lie 1-双代数のコホモロジー上の量子マスター関数は、ペアリング、リー括弧、コブラケットを含むバタリン＝ヴィルコビッツ作用関数によって生成され、明示的な形でS(p,ω) = ⟨p,dω⟩ + ½⟨p,[ω,ω]⟩ + ½⟨[p⋅p],ω⟩と表される。
• 量子BV多様体の接複体上の微分は、古典的極限におけるコホモロジー構造を誘導し、量子BV多様体の射はこれらの複体上で quasi-isomorphism を誘導する。