[论文解读] Yang-Mills for probabilists

Sourav Chatterjee|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 46被引用 7

一句话总结

本文通过将规范场论的连续极限视为随机联络的缩放极限，将欧几里得杨–米尔斯理论的构造问题重新表述为概率论问题。它利用概率工具识别出关键挑战，如威尔逊环的行为和紫外稳定性，并综述了通过重整化与热流正则化方法在构造非阿贝尔量子场论方面取得的数学进展。

ABSTRACT

The rigorous construction of quantum Yang-Mills theories, especially in dimension four, is one of the central open problems of mathematical physics. Construction of Euclidean Yang-Mills theories is the first step towards this goal. This article presents a formulation of some of the core aspects this problem as problems in probability theory. The presentation begins with an introduction to the basic setup of Euclidean Yang-Mills theories and lattice gauge theories. This is followed by a discussion of what is meant by a continuum limit of lattice gauge theories from the point of view of theoretical physicists. Some of the main issues are then posed as problems in probability. The article ends with a brief review of the mathematical literature.

研究动机与目标

• 将构造欧几里得杨–米尔斯理论的数学问题重新表述为概率论问题。
• 将格点规范场论的连续极限识别为构造量子场论的核心挑战。
• 将连续极限中非平凡威尔逊环相关性的存在性作为关键开放问题提出。
• 综述利用格点近似与重整化技术在严格构造杨–米尔斯理论方面的最新进展。
• 强调相空间胞腔重整化与热流正则化在推进非阿贝尔规范场论构造性量子场论程序中的作用。

提出的方法

• 通过杨–米尔斯作用量与吉布斯测度构造，将欧几里得杨–米尔斯理论形式化为联络空间上的形式概率测度。
• 将格点规范场论作为在离散时空格点上定义的严格概率模型，具有有限维测度。
• 使用威尔逊环变量作为基本可观测量，探测连续极限中的夸克禁闭与非平凡相关性结构。
• 应用相空间胞腔重整化方法，对格点理论进行迭代粗粒化，研究其收敛到宏观有效场论的行为。
• 通过在格点理论空间中使用紧致性论证，分析当格点间距 ε → 0 时的紫外稳定性。
• 提出通过杨–米尔斯热流正则化作为替代正则化方法，以保持规范不变性，并可能构造三维非阿贝尔理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 格点规范场论的连续极限是否能在四维空间中严格定义为联络空间上的概率测度？
• RQ2 威尔逊环变量在连续极限中是否表现出非平凡的面积律行为，从而标志夸克禁闭？
• RQ3 在四维空间中，对于非阿贝尔规范群，紫外稳定性——即相空间胞腔重整化下有效场理论的子列收敛性——是否可实现？
• RQ4 杨–米尔斯热流正则化方法是否能为三维非阿贝尔理论提供非平凡的连续极限？
• RQ5 相空间胞腔重整化程序是否可被推广，以证明四维纯杨–米尔斯理论连续极限的存在性？

主要发现

• 通过相空间胞腔重整化，已在三维与四维非阿贝尔格点规范场论中建立了紫外稳定性，但完整连续极限的存在性尚未证明。
• 四维 U(1) 格点规范场论的连续极限已由 Driver 利用 Gross 的方法构造，但非阿贝尔情形仍为开放问题。
• King 的工作建立了三维 Higgs 模型的连续极限，证明了该重整化方法在低维情形的可行性。
• 相空间胞腔重整化已成功应用于证明阿贝尔与非阿贝尔理论在三维与四维中连续极限的存在性，尽管收敛性仅为子列收敛。
• 近期采用杨–米尔斯热流正则化的方法在构造三维非阿贝尔欧几里得杨–米尔斯理论方面展现出前景。
• 尽管在相关模型方面取得了显著进展，目前尚未实现对四维纯杨–米尔斯理论中非阿贝尔规范群的非平凡连续极限的构造。