[论文解读] Application of the Fourier Method to the Mean-Square Approximation of Iterated Ito and Stratonovich Stochastic Integrals

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用 15

一句话总结

本文提出了一种基于傅里叶的均方逼近方法，用于任意阶次的伊藤和斯拉托诺维奇随机积分，采用多重勒让德和三角级数展开。该方法可获得逼近的均方误差的精确与近似表达式，从而实现对伊藤随机微分方程的数值积分，且逼近误差可控。

ABSTRACT

The article is devoted to the mean-square approximation of multiple Ito and Stratonovich stochastic integrals in the context of numerical integration of Ito stochastic differential equations. The expansion of multiple Ito stochastic integrals of any arbitrary multiplicity $k$ and expansions of multiple Stratonovich stochastic integrals of 1-4 multiplicities using multiple Fourier-Legendre and multiple trigonometric Fourier series are obtained. The exact and approximate expressions for the mean-square error of approximation are derived.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的方法，用于随机微分方程（SDE）数值积分中多重伊藤和斯拉托诺维奇随机积分的均方逼近。
• 将现有逼近技术扩展至处理任意阶次 k 的伊藤积分以及阶次 1–4 的斯拉托诺维奇积分。
• 推导逼近的均方误差的精确与近似表达式，从而在数值格式中实现误差控制。

提出的方法

• 利用多重勒让德级数展开来表示任意阶次 k 的多重伊藤随机积分。
• 采用多重三角级数傅里叶展开来逼近阶次为 1 至 4 的多重斯拉托诺维奇随机积分。
• 基于级数展开，推导出逼近均方误差的精确表达式。
• 应用收敛性分析，以确保在不同阶次下逼近结果的有效性与准确性。
• 将傅里叶级数展开集成到伊藤 SDE 的数值格式中，从而支持高阶弱逼近方法的实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用傅里叶级数，对任意阶次 k 的多重伊藤随机积分实现具有可控均方误差的逼近？
• RQ2 当通过三角级数傅里叶展开时，阶次为 1 至 4 的多重斯拉托诺维奇随机积分的结构与收敛行为如何？
• RQ3 这些随机积分的傅里叶逼近中，均方误差的精确与近似表达式是什么？
• RQ4 在随机微分方程的数值积分中，傅里叶-勒让德级数与三角级数在逼近精度与计算效率方面如何比较？

主要发现

• 该方法提供了逼近均方误差的精确表达式，从而可在伊藤 SDE 的数值解中实现精确的误差控制。
• 任意阶次 k 的多重伊藤随机积分成功地通过多重傅里叶-勒让德级数展开，且误差界为解析推导所得。
• 阶次为 1 至 4 的多重斯拉托诺维奇随机积分可通过多重三角级数傅里叶展开实现高精度逼近。
• 所推导的均方误差表达式可支持构建具有保证收敛速率的高阶弱数值方法，用于 SDE。
• 该方法支持开发高效且精确的数值格式，适用于需要高精度积分的随机系统。