[论文解读] Expansion of Multiple Stratonovich Stochastic Integrals of Multiplicity 2, Based on Double Fourier-Legendre Series, Summarized by Prinsheim Method

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 37被引用 18

一句话总结

本文提出一种方法，通过使用双重傅里叶-勒让德级数并以普林舍姆方法总结，将多重伊藤斯特拉托诺维奇随机积分（阶数为2）展开为标准正态随机变量的双重级数。主要贡献是一个收敛的级数表示，可实现伊藤随机微分方程的精确数值积分。

ABSTRACT

The article is devoted to the expansion of multiple Stratonovich stochastic integrals of multiplicity 2 into double series of standard Gaussian random variables. The proof of the expansion is based on application of double Fourier-Legendre series, summarized by Prinsheim method. The results of the article can be applied to numerical integration of Ito stochastic differential equations.

研究动机与目标

• 开发多重斯特拉托诺维奇随机积分（阶数为2）的收敛级数展开方法。
• 应用双重傅里叶-勒让德级数与普林舍姆求和方法，将这些积分表示为标准正态随机变量的双重级数。
• 提供一种数值上可处理的表示形式，以用于伊藤随机微分方程的数值求解。
• 建立该级数展开的收敛性与结构的严格数学框架。

提出的方法

• 利用双重傅里叶-勒让德级数展开阶数为2的多重斯特拉托诺维奇随机积分的被积函数。
• 应用普林舍姆求和方法，确保双重级数表示的收敛性。
• 将所得展开式表示为涉及标准正态随机变量的双重级数。
• 通过正交勒让德多项式性质，在L2范数下建立级数的收敛性。
• 通过将随机积分被积函数与勒让德多项式基函数进行积分，推导级数的系数。
• 通过展示其表示精度，验证该方法在伊藤SDE数值积分中的适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将阶数为2的多重斯特拉托诺维奇随机积分表示为标准正态随机变量的收敛双重级数？
• RQ2 在随机积分背景下，何种求和方法可确保双重级数展开的收敛性？
• RQ3 双重傅里叶-勒让德级数结合普林舍姆求和能否提供一种数值稳定的随机积分表示？
• RQ4 此类积分的级数展开中，系数的数学结构是什么？
• RQ5 该方法如何促进伊藤随机微分方程的数值求解？

主要发现

• 阶数为2的多重斯特拉托诺维奇随机积分被成功展开为标准正态随机变量的双重级数。
• 普林舍姆求和方法确保了双重傅里叶-勒让德级数表示的收敛性。
• 级数系数通过投影到勒让德多项式基函数上获得，确保了数学上的严谨性。
• 所得展开式提供了数值稳定且精确的表示形式，适用于随机数值分析。
• 该方法通过精确表示多重随机积分，实现了伊藤随机微分方程的改进数值积分。
• 该框架在满足类似正交性与收敛性条件的前提下，可推广至其他类别的随机积分。