[论文解读] Approximations for Monotone and Non-monotone Submodular Maximization with Knapsack Constraints

Ariel Kulik, Hadas Shachnai+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 2被引用 7

一句话总结

本文提出了一种在 d 个 knapsack 约束下，连续松弛与离散近似之间新颖的联系。通过利用期望扩展和确定性舍入，对单调子模函数实现了 (1−e⁻¹−ε) 近似，对非单调子模函数实现了 (1/4−ε) 近似，且对任意 ε>0 均在多项式时间内完成。

ABSTRACT

Submodular maximization generalizes many fundamental problems in discrete optimization, including Max-Cut in directed/undirected graphs, maximum coverage, maximum facility location and marketing over social networks. In this paper we consider the problem of maximizing any submodular function subject to $d$ knapsack constraints, where $d$ is a fixed constant. We establish a strong relation between the discrete problem and its continuous relaxation, obtained through {\em extension by expectation} of the submodular function. Formally, we show that, for any non-negative submodular function, an $α$-approximation algorithm for the continuous relaxation implies a randomized $(α- \eps)$-approximation algorithm for the discrete problem. We use this relation to improve the best known approximation ratio for the problem to $1/4- \eps$, for any $\eps > 0$, and to obtain a nearly optimal $(1-e^{-1}-\eps)-$approximation ratio for the monotone case, for any $\eps>0$. We further show that the probabilistic domain defined by a continuous solution can be reduced to yield a polynomial size domain, given an oracle for the extension by expectation. This leads to a deterministic version of our technique.

研究动机与目标

• 解决在多重 knapsack 约束下最大化子模函数的挑战，这是离散优化中的一个基础问题。
• 改进在 d 个 knapsack 约束下对单调与非单调子模函数的现有近似比。
• 在问题的连续松弛与离散对应形式之间建立强有力的理论联系。
• 开发一种具有可证明性能保证的确定性近似算法，克服随机化方法的局限性。
• 降低连续解中概率域的复杂度，以实现多项式时间计算。

提出的方法

• 使用期望扩展将离散子模函数映射到连续的多重线性松弛 F。
• 证明：若连续松弛问题有 α-近似解，则其对应的离散问题有 (α−ε)-近似解。
• 应用迭代舍入，将连续解中的分数变量数量减少至 O(log|U|)。
• 在多项式规模的实现域上使用确定性舍入，将分数解转换为可行的离散解。
• 利用 pipage 舍入与域缩减技术，在保持近似质量的同时确保可行性。
• 将连续近似算法与一个保证达到连续解值 (1−ε) 近似的舍入阶段相结合。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 knapsack 约束下，建立连续松弛与离散子模最大化之间的强关联？
• RQ2 在 d 个 knapsack 约束下，非单调子模函数可实现的近似比是多少？
• RQ3 能否对现有具有 knapsack 约束的子模最大化随机化近似算法进行去随机化？
• RQ4 能否在不牺牲近似质量的前提下，将连续解中的分数变量数量减少至多项式规模？
• RQ5 在 d 个 knapsack 约束下，单调子模最大化可达到的最佳近似比是多少？

主要发现

• 本文建立了连续松弛与离散子模最大化之间近乎最优的联系，表明若连续问题有 α-近似解，则其离散问题有 (α−ε)-近似解。
• 对于在 d 个 knapsack 约束下的单调子模函数，本文实现了对任意 ε>0 的确定性 (1−e⁻¹−ε)-近似算法。
• 对于在 d 个 knapsack 约束下的非单调子模函数，本文提供了对任意 ε>0 的确定性 (1/4−ε)-近似算法。
• 连续解中的分数变量数量被减少至 O(log|U|)，从而实现了多项式时间的确定性舍入。
• 该方法适用于特定问题，如具有 d 个 knapsack 约束的最大覆盖问题，可实现 (1−e⁻¹−ε)-近似算法。
• 当 ε 为固定常数时，运行时间为 |U| 的多项式时间，尽管在 1/ε 上为指数时间，表明进一步改进存在固有的复杂度限制。