研究动机与目标

提出的方法

利用 Nakajima 的 3d $\nmathcal{N}=4$ quiver gauge 理论的 Coulomb 丛构造，定义 moment 映射方程解的模空间。
对参数化保持 Iwahori 旗的 $G_{\nmathcal{K}}$-轨道的三元组族 ${\nmathcal{R}}_{{\nmathbf{j}},{\nmathbf{j}}'}$ 应用等变 Borel-Moore 同调。
从这些簇的同调构造卷积代数 ${\nmathcal{H}}_V = \bigoplus_{{\nmathbf{j}},{\nmathbf{j}}'\to{\nmathbf{J}}(V)} {\nmathcal{H}}_{{\nmathbf{j}}',{\nmathbf{j}}}$。
利用 $V_{\nmathcal{K}}$ 上的旗结构定义 Iwahori 子群 ${\nmathsf{I}}_{\nmathbf{j}}$ 与 Higgs 场空间的子模 ${\nmathbf{N}}_{\nmathbf{j}}$。
通过序列的连接，建立从 ${\nmathcal{H}}_V$ 到量子环面代数正部分 $U_Q^{++}$ 的同态。
利用仿射 Yangian 的余乘法结构，通过簇之间态射像的闭包，定义双 affine Grassmannian 中切片的结构。

RQ1双 affine Grassmannian 中层的横截切片能否被实现为 3d $\nmathcal{N}=4$ quiver gauge 理论的 Coulomb 丛？
RQ2仿射 quiver 的 Coulomb 丛构造如何推广至双 affine 设置？
RQ3Iwahori 子群与旗结构在定义三元组簇上卷积代数时起什么作用？
RQ4所得卷积代数如何实现量子环面代数正部分的范畴化？
RQ5Coulomb 丛与双 affine Grassmannian 中轨道闭包之间的精确几何对应关系是什么？

3d $\nmathcal{N}=4$ quiver gauge 理论的 Coulomb 丛被猜想为实现双 affine Grassmannian 中的横截切片 $\noverline{\nmathcal{W}}{}_{\bar{\nu}}^{\bar{\nu}'}$ 为 moment 映射方程解的模空间。
由三元组簇 ${\nmathcal{R}}_{{\nmathbf{j}},{\nmathbf{j}}'}$ 的等变 Borel-Moore 同调构成的卷积代数 ${\nmathcal{H}}_V$ 实现了量子环面代数正部分 $U_Q^{++}$ 的范畴化。
通过将 IC 丛在双 affine Grassmannian 切片上的像表示为广义 Satake 函子的像，该构造将几何 Satake 等价性推广至双 affine 设置。
态射 $\noverline{\nmathcal{W}}{}^{\bar{\nu}}_{{\nmathbf{\bar{\nu}}''}} \times \n{\nmathbf{\bar{\nu}}'} \to \noverline{\nmathcal{W}}{}^{\bar{\nu}}_{\bar{\nu}}$ 的像的闭包给出了所需的切片 $\noverline{\nmathcal{W}}{}_{\bar{\nu}}^{\bar{\nu}'}$。
在 $V_{\nmathcal{K}}$ 中的旗上的 Iwahori 型稳定化子 ${\nmathsf{I}}_{\nmathbf{j}}$ 确保与格滤子的相容性，并定义了相关的 Higgs 场子簇。
同态 ${\nmathcal{H}}_V \to U_Q^{++}$ 由序列的连接 ${\nmathbf{j}}_1{\nmathbf{j}}_2$ 诱导，表明代数结构尊重表示的直和。