[论文解读] Expansion of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals of Multiplicity 3 Based on Generalized Multiple Fourier Series Converging in the Mean: General Case of Series Summation

Dmitriy F. Kuznetsov|ArXiv.org|Jan 4, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 39被引用 19

一句话总结

本文提出了一种基于广义多重傅里叶级数（特别是三重勒让德多项式与三角函数傅里叶级数展开）对三重伊藤-斯特拉托诺维奇随机积分进行均方逼近的方法。该方法通过正交展开将先前针对伊藤积分的研究推广至斯特拉托诺维奇积分，实现了均方收敛，并为强收敛准则下的伊藤 SDE 数值积分提供了高效计算方法。

ABSTRACT

The article is devoted to the development of the method of expansion and mean-square approximation of iterated Ito stochastic integrals based on generalized multiple Fourier series converging in the mean. We adapt this method for iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicity 3 from the Taylor-Stratonovich expansion. The main result of the article has been derived with using the triple Fourier-Legendre series and triple trigonometric Fourier series for the general case of series summation. Some recent results on the expansion of iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 3 to 6 are given. The results of the article can be applied to the numerical integration of Ito stochastic differential equations in accordance with the strong criterion of convergence.

研究动机与目标

• 开发一种针对三重斯特拉托诺维奇随机积分的均方逼近通用方法。
• 将先前用于伊藤积分的广义多重傅里叶级数方法推广至斯特拉托诺维奇积分。
• 建立勒让德多项式与三角函数傅里叶级数展开在均方意义下的收敛性。
• 为伊藤随机微分方程的数值积分提供计算高效的框架。
• 通过正交展开将早期关于三重至六重迭代积分的结果进行推广。

提出的方法

• 该方法在空间 $ L_2([t,T]) $ 中采用广义多重傅里叶级数，使用如勒让德多项式与三角函数等完备正交系。
• 通过将迭代斯特拉托诺维奇积分的核函数表示为正交函数的级数来构建展开式。
• 通过计算核函数与正交基函数乘积的积分来推导级数系数。
• 利用 $ L_2 $-正交展开的性质，证明级数在均方意义下的收敛性。
• 该方法可推广至 $ L_2([t,T]) $ 中任意完备正交系，从而在基函数选择上具有灵活性。
• 通过与已知结果对比并应用于 Wong–Zakai 近似，对方法进行了验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用广义多重傅里叶级数在均方意义下逼近三重斯特拉托诺维奇随机积分？
• RQ2 三重勒让德多项式与三角函数傅里叶级数展开在这些积分中的收敛特性是什么？
• RQ3 所提出的方法如何将现有伊藤积分方法推广至更高重数的斯特拉托诺维奇积分？
• RQ4 在 SDE 数值积分背景下，该展开式与 Wong–Zakai 近似之间存在何种关系？
• RQ5 该方法能否扩展至三重至六重积分，并保证均方收敛？

主要发现

• 三重傅里叶-勒让德级数展开在均方意义下收敛于真实积分值。
• 三重三角函数傅里叶级数展开同样在均方意义下收敛，为逼近提供了另一种基函数选择。
• 该方法将定理 1 推广至 $ L_2([t,T]) $ 中任意完备正交系，增强了其适用性。
• 该方法通过提供高重数斯特拉托诺维奇积分的精确逼近，实现了在强收敛准则下对伊藤 SDE 的高效数值积分。
• 结果与 Wong–Zakai 近似一致，验证了该方法的理论基础。
• 该框架支持对三重至六重迭代斯特拉托诺维奇积分的展开，扩展了对低重数积分的先前研究。