[论文解读] To Numerical Modeling With Strong Orders 1.0, 1.5, and 2.0 of Convergence for Multidimensional Dynamical Systems With Random Disturbances

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用 23

一句话总结

本文提出了一类显式的一步数值方法，针对具有非交换噪声的多维伊tô随机微分方程，其强收敛阶分别为1.0、1.5和2.0。该方法利用广义多重傅里叶-勒让德级数近似计算多重性为1至4的迭代伊tô积分与斯特拉托诺维奇积分，从而实现高精度的均方数值建模，这对于随机控制与滤波应用至关重要。

ABSTRACT

The article is devoted to explicit one-step numerical methods with strong orders 1.0, 1.5, and 2.0 of convergence for Ito stochastic differential equations with multidimensional and non-commutative noise. For numerical modeling of iterated Ito stochastic integrals with multiplicities 1 to 4 we use the method of multiple Fourier-Legendre series converging in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k),$ $k=1,2,3,4.$ The article is addressed to engineers who use numerical modeling in stochastic control and for solving the nonlinear filtering problem.

研究动机与目标

• 解决在多维伊tô SDEs中使用非交换噪声时对高阶强收敛方法的需求。
• 为多重性1至4的迭代伊tô积分与斯特拉托诺维奇积分开发高效的均方近似技术。
• 实现用于随机最优控制与非线性滤波应用的精确数值建模。
• 提供基于广义多重傅里叶-勒让德级数的计算可行算法，便于实际实现。

提出的方法

• 使用广义多重傅里叶-勒让德级数，在 $L_2([t,T]^k)$ 范数下展开多重性为 $k=1,2,3,4$ 的迭代伊tô与斯特拉托诺维奇随机积分。
• 通过正交多项式展开，推导出迭代伊tô与斯特拉托诺维奇积分的傅里叶-勒让德系数的闭式表达式。
• 通过截断勒让德级数构造多重性1至4的迭代伊tô积分的数值近似，并在均方范数下给出误差界。
• 通过引入高阶多重性积分（包括 $I_{(10)}$、$I_{(01)}$ 和 $I_{(0000)}$）的近似，实现强收敛阶为1.5和2.0的算法。
• 确保1.5阶方法的均方误差界为 $\mathcal{O}(\Delta^4)$，2.0阶方法的均方误差界为 $\mathcal{O}(\Delta^5)$，并提供显式误差估计。
• 使用文献[3]中的斯特拉托诺维奇积分定义，并在必要时应用伊tô-斯特拉托诺维奇校正项以保证一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何高效近似多重性为1至4的迭代伊tô随机积分，以保证在多维非交换噪声下的均方收敛性？
• RQ2 在多维SDE背景下，迭代伊tô与斯特拉托诺维奇积分的广义多重傅里叶-勒让德级数展开具有何种结构？
• RQ3 如何利用这些近似构造出强收敛阶为1.5和2.0的数值格式？
• RQ4 基于勒让德近似的多重性1至4的迭代随机积分的精确均方误差界是什么？
• RQ5 如何在实际中高效实现这些结果，以应用于随机控制与滤波问题？

主要发现

• 本文推导出多重性高达6的迭代伊tô与斯特拉托诺维奇随机积分的傅里叶-勒让德系数的显式公式，从而实现高精度近似。
• 对于多重性为 $k$ 的迭代伊tô积分，勒让德级数近似的均方误差界为 $\mathcal{O}(\Delta^{k+1})$（$k=1,2,3,4$），确保了1.0、1.5和2.0阶的收敛性。
• 对于1.5阶方法，$I_{(10)}$ 与 $I_{(01)}$ 积分的近似误差界为 $\mathcal{O}(\Delta^4)$，并给出了涉及勒让德多项式系数求和的显式表达式。
• 对于2.0阶方法，引入了 $I_{(0000)}$ 积分，其误差界为 $\mathcal{O}(\Delta^5)$，并通过方程(68)中的误差估计得到验证。
• 通过引入 $I_{(10)}$、$I_{(01)}$ 和 $I_{(0000)}$ 积分的近似，且其均方误差为 $\mathcal{O}(\Delta^5)$，该方法实现了2.0阶的强收敛。
• 所提出的算法具有实用性，可基于离散维纳增量 $\zeta_i^{(i_j)}$ 实现，且给出了 $I_{(00)}$、$I_{(000)}$ 和 $I_{(0000)}$ 积分的显式公式。