[论文解读] Learning Quantum Processes and Hamiltonians via the Pauli Transfer Matrix

C. Matthias|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 76被引用 4

一句话总结

该论文通过利用量子存储器，仅需线性数量的 Choi 态副本，高效重构 n 量子比特通道的泡利转移矩阵（PTM），从而在学习未知量子过程方面实现了指数级量子优势。该方法可高效预测泡利稀疏可观测量及任意有界可观测量的期望值，其性能优于即使采用自适应策略的古典学习者，后者仍需指数级查询次数。

ABSTRACT

Learning about physical systems from quantum-enhanced experiments, relying on a quantum memory and quantum processing, can outperform learning from experiments in which only classical memory and processing are available. Whereas quantum advantages have been established for a variety of state learning tasks, quantum process learning allows for comparable advantages only with a careful problem formulation and is less understood. We establish an exponential quantum advantage for learning an unknown $n$-qubit quantum process $\mathcal{N}$. We show that a quantum memory allows to efficiently solve the following tasks: (a) learning the Pauli transfer matrix of an arbitrary $\mathcal{N}$, (b) predicting expectation values of bounded Pauli-sparse observables measured on the output of an arbitrary $\mathcal{N}$ upon input of a Pauli-sparse state, and (c) predicting expectation values of arbitrary bounded observables measured on the output of an unknown $\mathcal{N}$ with sparse Pauli transfer matrix upon input of an arbitrary state. With quantum memory, these tasks can be solved using linearly-in-$n$ many copies of the Choi state of $\mathcal{N}$, and even time-efficiently in the case of (b). In contrast, any learner without quantum memory requires exponentially-in-$n$ many queries, even when querying $\mathcal{N}$ on subsystems of adaptively chosen states and performing adaptively chosen measurements. In proving this separation, we extend existing shadow tomography upper and lower bounds from states to channels via the Choi-Jamiolkowski isomorphism. Moreover, we combine Pauli transfer matrix learning with polynomial interpolation techniques to develop a procedure for learning arbitrary Hamiltonians, which may have non-local all-to-all interactions, from short-time dynamics. Our results highlight the power of quantum-enhanced experiments for learning highly complex quantum dynamics.

研究动机与目标

• 识别一种根本性的量子优势，即在学习量子过程方面，古典学习者即使采用自适应策略也无法实现，而量子学习者可以。
• 证明量子存储器可实现对任意 n 量子比特量子通道的泡利转移矩阵（PTM）的高效学习。
• 将此优势扩展至在稀疏性约束下，预测通道输出上任意有界可观测量的期望值。
• 开发一种方法，利用 PTM 学习作为子程序，从短时幺正动力学中学习任意哈密顿量（无需局域性或结构假设）。

提出的方法

• 利用 Choi-Jamiolkowski 对偶性将量子通道映射为态（Choi 态），通过量子存储器实现量子增强学习。
• 应用量子过程层析技术，利用线性数量的 Choi 态副本，重构未知通道的泡利转移矩阵（PTM）。
• 对期望值的时间导数估计值进行多项式插值，从短时幺正演化中提取哈密顿量的泡利系数。
• 使用切比雪夫多项式插值估计 t=0 时刻可观测量的时间导数，其对应于哈密顿量的泡利系数。
• 结合 PTM 学习与导数估计，实现基于经典描述的哈密顿量学习，具有有界误差和高概率。
• 通过并行访问通道并基于精度和系统尺寸优化总演化时间与查询次数，确保查询效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子增强实验是否能在学习未知量子过程方面，相对于采用自适应策略的古典学习者，实现指数级优势？
• RQ2 在拥有量子存储器的情况下，是否能高效学习任意 n 量子比特通道的泡利转移矩阵？其查询复杂度与古典方法相比如何？
• RQ3 泡利转移矩阵学习协议能否扩展至预测通道输出上任意有界可观测量的期望值，特别是当 PTM 为稀疏时？
• RQ4 能否将 PTM 学习作为子程序，用于从短时动力学中学习任意哈密顿量（包括非局域的），且无需结构假设？
• RQ5 通过幺正演化中的导数估计学习哈密顿量系数的查询复杂度与时间复杂度是多少？其随系统尺寸与精度的缩放关系如何？

主要发现

• 拥有量子存储器的量子学习者仅需 O(n) 个 Choi 态副本，即可学习任意 n 量子比特通道的完整泡利转移矩阵（PTM），实现与 n 的线性标度。
• 相比之下，任何无量子存储器的古典学习者即使采用自适应输入态制备与测量策略，仍需在 n 上指数级的查询次数。
• 该方法可高效预测通道输出上泡利稀疏可观测量的期望值，当输入态也为泡利稀疏时，实现时间高效的实现。
• 对于泡利转移矩阵稀疏的通道，该方法可对任意输入态上的任意有界可观测量，实现期望值的高效预测。
• 通过结合 PTM 学习与多项式插值，本文提出一种从短时动力学中学习任意哈密顿量的方法，实现 ℓ∞-范数精度，所需经典内存为 O~(n²/ε⁴)，查询次数为 O~(n/ε⁴)。
• 该方法的复杂度与哈密顿量的算子范数相关，且无需任何结构假设（如局域性或稀疏性），可实现对全连接相互作用哈密顿量的学习。