[论文解读] Spaces of Observables from Solving PDEs. I. Translation-Invariant Theory

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2018

Quantum Mechanics and Applications参考文献 31被引用 12

一句话总结

本文提出了一种系统方法，通过求解由约束括号导出的一阶偏微分方程（PDE），在平移对称与重参数化不变理论中构造经典规范可观测量。该方法引入了不同类别的可观测量——狄拉克可观测量、无限制可观测量、克罗诺斯可观测量与规范可观测量，通过特征问题求解展示了其解，关键结果表明强可观测量与弱可观测量分别对应于PDE系统的特解与补函数解。

ABSTRACT

Finding classical canonical observables consists of taking a function space over phase space. For constrained theories, these functions must form zero brackets with a closed algebraic structure of first-class constraints. This brackets condition can moreover be recast as a first-order PDE system, to be treated as a free characteristic problem. We explore explicit observables equations and their concrete solutions for a translation- and reparametrization-invariant action, thereby populating the following variety of notions of observables with examples. 1) The brackets can be strongly or weakly zero in Dirac's sense, i.e.\ a linear combination of constraints. 2) Observables can admit pure-configuration and pure-momentum restrictions. 3) Our model provides the translation constraint P$_i$ encoding zero total momentum of the model universe and depending homogeneous-linearly on momenta, and the Chronos constraint equation of time reinterpretation of the `constant-energy condition' and depending quadratically on momenta. These are mechanical analogues of GR's momentum M$_i$ and Hamiltonian H constraints respectively. P$_i$ and Chronos moreover algebraically close separately (only M$_i$ does for GR). Our model thus supports translation gauge-observables $G$ and Chronos observables $C$, as well as unrestricted observables $U$ and Dirac observables $D$ brackets-commuting with neither and both respectively. We relate the strong to properly-weak split of weak observables to the complementary-function to particular-integral split of the complete solution, with the properly-weak rendered of measure-0 relative to the strong by the latter's free characteristicness. The closed algebraic structures form a bounded lattice and the corresponding notions of observables a dual lattice, with the observables themselves forming a presheaf of function spaces thereover.

研究动机与目标

• 为约束力学系统中多种不同可观测量概念提供明确实例，尤其聚焦于背景无关与时间重参数化不变模型。
• 通过将可观测量问题形式化为由约束与泊松括号条件导出的一阶PDE系统，解决经典规范力学中的可观测量问题。
• 阐明强可观测量与弱可观测量之间的关系，通过PDE系统的特解与补函数分解来表征。
• 建立约束代数的格结构及其对偶的可观测量类型格结构，可观测量在该结构上形成预层（presheaf）。
• 为将该框架推广至场论、量子系统以及全局或几何结构化模型奠定基础。

提出的方法

• 将函数成为可观测量的条件形式化为由第一类约束的泊松括号为零导出的一阶PDE系统。
• 应用自由特征问题方法求解PDE系统，将其视为在特征超曲面上给定初值的边值问题。
• 识别出两个关键约束：线性于动量的平移约束 $\mathcal{P}_i$ 与二次于动量的克罗诺斯约束 $\mathcal{C}$，二者各自形成闭代数。
• 根据括号条件是否恒成立或作为约束的线性组合成立，区分强可观测量与弱可观测量。
• 利用通解的特解与补函数分解，将弱可观测量表征为相对于强可观测量测度为零。
• 构建约束代数结构的有界格，以及可观测量类型的对偶格，可观测量在该结构上形成预层。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过PDE系统在平移对称理论中系统构造经典规范可观测量？
• RQ2 强可观测量与弱可观测量在约束PDE解结构上的精确关系为何？
• RQ3 狄拉克、无限制、克罗诺斯与规范可观测量等不同类型的可观测量如何从约束的代数与几何结构中自然涌现？
• RQ4 PDE系统解如何反映特解与补函数分量的分解？
• RQ5 该模型中约束代数的格结构与可观测量类型对偶格之间存在何种关系？

主要发现

• 该模型实现了平移规范可观测量 $G$ 与克罗诺斯可观测量 $C$，这些在广义相对论中并不存在，原因在于动量约束代数不闭合。
• 平移约束 $\mathcal{P}_i$ 与克罗诺斯约束 $\mathcal{C}$ 分别独立形成闭代数，而广义相对论中仅哈密顿约束 $\mathcal{H}$ 与动量约束构成闭代数。
• 强可观测量对应于PDE的特解，弱可观测量对应于补函数，后者因问题的自由特征性质而测度为零。
• 可观测量空间在约束代数结构的有界格上形成预层，且可观测量类型具有对偶格结构。
• 该模型为“桥定理”提供了具体实现，该定理将配置可观测量与几何保持量联系起来，其中 $\mathcal{O}_{\mathbf{Q}}(\mathfrak{s}) = \mathcal{Q}(\mathfrak{s})$ 作为推论成立。
• 该框架可推广至场论，此时PDE退化为泛函微分方程（FDE），为未来研究约束系统中FDE的路径提供了可能。