[论文解读] Tulczyjew's triples and lagrangian submanifolds in classical field theories

Manuel de León, David Martı́n de Diego+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic TopologyMathematics参考文献 16被引用 20

一句话总结

本文通过多辛几何将Tulczyjew的经典力学辛框架推广至经典场论。通过喷射提升和多辛形式，引入了场论的广义Tulczyjew三元组，表明Euler-Lagrange方程与Hamilton–de Donder方程作为定义多辛流形中(n+1)维拉格朗日子流形的局部方程而出现，从而在几何框架下统一了拉格朗日与哈密顿形式。

ABSTRACT

In this paper the notion of Tulczyjew's triples in classical mechanics is extended to classical field theories, using the so-called multisymplectic formalism, and a convenient notion of lagrangian submanifold in multisymplectic geometry. Accordingly, the dynamical equations are interpreted as the local equations defining these lagrangian submanifolds.

研究动机与目标

• 将Tulczyjew的经典力学辛框架推广至经典场论。
• 利用多辛几何与喷射提升，发展经典场论的几何表述。
• 将Euler-Lagrange方程与Hamilton–de Donder方程解释为多辛设定下拉格朗日子流形的定义方程。
• 通过场论中的广义Tulczyjew三元组，建立拉格朗日与哈密顿形式之间的对应关系。

提出的方法

• 使用多辛形式化方法，将经典力学的规范辛结构推广至场论。
• 从1-喷射丛Z上的拉格朗日密度Lη构造Poincaré–Cartan (n+1)形式Ω_L。
• 通过喷射提升与散度等价类的商化，定义典范微分同胚α̃: J̃¹Z* → Λⁿ⁺¹₂Z和β̃: J̃¹Z* → Λⁿ⁺¹₂Z*。
• 通过Λⁿ⁺¹₂Z*上典范形式的拉回，在J̃¹Z*上引入多辛结构，从而得到多辛流形(J̃¹Z*, Ω_β)。
• 在此多辛空间中，将De Donder方程与场方程的解表示为(n+1)维拉格朗日子流形。
• 通过Legendre变换与恒等式Ω_α = Ω_β，建立拉格朗日与哈密顿形式之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Tulczyjew在经典力学中的三元组构造如何推广至经典场论？
• RQ2 何种适当的多辛几何结构可类似辛结构在力学中的作用，编码场的动力学？
• RQ3 Euler-Lagrange方程与Hamilton–de Donder方程如何在多辛框架下作为拉格朗日子流形的定义方程出现？
• RQ4 喷射提升与散度等价类的商化在构造一致的场论Tulczyjew三元组中起何作用？
• RQ5 在此几何框架下，拉格朗日与哈密顿形式之间有何关系？

主要发现

• 经典场论的动力学方程在几何上被编码为通过广义Tulczyjew三元组构造的多辛流形中(n+1)维拉格朗日子流形的局部定义方程。
• 证明了De Donder方程与场方程等价于：水平截面在投影映射下的像位于多辛流形(J̃¹Z*, Ω_β)的拉格朗日子流形中。
• 典范微分同胚β̃: J̃¹Z* → Λⁿ⁺¹₂Z* 将场方程的解映射至Λⁿ⁺¹₂Z*的零截面，从而确认了拉格朗日子流形结构。
• 证明了J̃¹Z*上的多辛形式Ω_α与Ω_β相等，从而在几何上统一了拉格朗日与哈密顿形式。
• Legendre变换连接了拉格朗日与哈密顿形式，在正则性条件下，相应的拉格朗日子流形N_L与N_h重合。