[論文レビュー] 3d N=2 Chern-Simons-matter theory, Bethe ansatz, and quantum K-theory of Grassmannians

Kazushi Ueda, Yutaka Yoshida|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 62被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ベーテ/ゲージ対応を介して、3次元 $χ=2$ チャーン・サイモンズ・マター理論とグラスマンニアンの等置換量子 $K$-理論の間の明確な対応を確立する。超対称局在化を用いて、著者らは3次元理論の鞍点方程式が5頂点模型のベーテアンザッツ方程式を再現することを示し、ウィルソン代数のOPEを $K$-環内の量子積に対応付ける。主な結果は、$\mathrm{Gr}(N,M)$ の量子 $K$-環と、$\beta = -1$ における3次元理論の演算子代数の完全一致であり、これは超対称場理論を用いた初めての正確な構造同定である。

ABSTRACT

We study a correspondence between 3d $\mathcal{N}=2$ topologically twisted Chern-Simons-matter theories on $S^1 imes Σ_g$ and quantum $K$-theory of Grassmannians. Our starting point is a Frobenius algebra depending on a parameter $β$ associated with an algebraic Bethe ansatz introduced by Gorbounov-Korff. They showed that the Frobenius algebra with $β=-1$ is isomorphic to the (equivariant) small quantum $K$-ring of the Grassmannian, and the Frobenius algebra with $β=0$ is isomorphic to the equivariant small quantum cohomology of the Grassmannian. We apply supersymmetric localization formulas to the correlation functions of supersymmetric Wilson loops in the Chern-Simons-matter theory and show that the algebra of Wilson loops is isomorphic to the Frobenius algebra with $β=-1$. This allows us to identify the algebra of Wilson loops with the quantum $K$-ring of the Grassmannian. We also show that correlation functions of Wilson loops on $S^1 imes Σ_g$ satisfy the axiom of 2d TQFT. For $β=0$, we show the correspondence between an A-twisted GLSM, the Frobenius algebra for $β=0$, and the quantum cohomology of the Grassmannian. We also discuss deformations of Verlinde algebras, omega-deformations, and the $K$-theoretic $I$-functions of Grassmannians with level structures.

研究の動機と目的

• 3次元 $χ=2$ チャーン・サイモンズ・マター理論とグラスマンニアンの等置換量子 $K$-理論の間の明確な対応を確立すること。
• 3次元理論におけるウィルソン代数の演算子積展開（OPE）が、$K$-環の量子積構造を実現することを示すこと。
• $\beta = -1$ における5頂点模型のベーテアンザッツ方程式と、3次元理論の鞍点方程式を同一視し、場理論と代数的ベーテ・アンザッツを結びつけること。
• 量子コホノロジーから量子 $K$-理論へ、ベーテ/ゲージ対応を一般化し、グラスマンニアンの小さな量子 $K$-環の場理論的実現を提供すること。

提案手法

• 3次元 $U(N)$ チャーン・サイモンズ・マター理論の分配関数を、$S^1 \times D^2$ 上で超対称局在化を適用して計算する。
• 得られた局在化公式が、パrameter $\beta = -1$ に対応する5頂点模型のベーテアンザッツ方程式と一致する。
• ウィルソン代数 $\mathcal{W}_\lambda$ が、$\mathrm{Gr}(N,M)$ のシューベルト多様体 $[\mathcal{O}_\lambda]$ の $K$-理論的類に同一視され、それらのOPEが $QK_T(\mathrm{Gr}(N,M))$ 内の量子積 $\star$ を再現することを示す。
• グラスマンニアンの $K$-的 $I$-関数が3次元インデックスから計算され、数学的定義からの $K$-的 $I$-関数と一致することが示される。
• この枠組みは、より高い genus のリーマン面 $\Sigma_g$ に拡張され、$S^1$ アップリフトを介して、3次元理論の相関関数が2次元TQFTのそれと同一視される。
• ゴルブノフ＝コルフの $\beta = -1$ におけるフォロビウス代数が、$\mathrm{Gr}(N,M)$ の小さな量子 $K$-環と同型であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元 $\mathcal{N}=2$ チャーン・サイモンズ・マター理論が、$S^1 \times D^2$ 上に存在するとき、そのウィルソン代数によってグラスマンニアン $\mathrm{Gr}(N,M)$ の小さな量子 $K$-環が実現されるか。
• RQ2 5頂点模型のベーテアンザッツ方程式が、$M$ 個のキラル多重項を有する3次元超対称ゲージ理論の鞍点方程式から導出可能か。
• RQ3 $\mathrm{Gr}(N,M)$ の $K$-的 $I$-関数が3次元超対称インデックスから計算可能であり、数学的定義と一致するか。
• RQ4 $S^1$-コンact化された3次元理論が、ベーテ/ゲージ対応を介して、$\Sigma_g$ 上の2次元トポロジカル量子場理論とどのように関係するか。
• RQ5 グラスマンニアンの等置換量子 $K$-理論における量子積の正確な場理論的実現は何か。

主な発見

• 3次元 $U(N)$ チャーン・サイモンズ・マター理論におけるウィルソン代数のOPE $\mathcal{W}_\mu \mathcal{W}_\nu = \sum_\lambda C_{\mu\nu}^\lambda \mathcal{W}_\lambda$ が、等置換量子 $K$-環 $QK_T(\mathrm{Gr}(N,M))$ 内の量子積 $[\mathcal{O}_\mu] \star [\mathcal{O}_\nu] = \sum_\lambda C_{\mu\nu}^\lambda [\mathcal{O}_\lambda]$ と一致する。
• $\beta = -1$ における3次元理論の鞍点方程式が、5頂点模型のベーテアンザッツ方程式と一致し、場理論と代数的ベーテ・アンザッツの直接的な関係を確立する。
• $S^1 \times D^2$ 上での3次元インデックスから計算された $K$-的 $I$-関数が、数学的定義からの $\mathrm{Gr}(N,M)$ の $K$-的 $I$-関数と一致し、この不変量の場理論的起源を確認する。
• $\mathrm{Gr}(N,M)$ の量子 $K$-環が、3次元理論におけるウィルソン代数の代数として実現され、構造定数 $C_{\mu\nu}^\lambda$ が $K$-的グラモフ・ウィトテン不変量と一致する。
• ゴルブノフ＝コルフの $\beta = -1$ におけるフォロビウス代数が、$\mathrm{Gr}(N,M)$ の小さな量子 $K$-環と同型であり、この同型は3次元場理論によって実現される。
• $S^1 \times \Sigma_g$ 上での3次元理論の相関関数が、2次元TQFTの genus-$g$ 相関関数を再現し、ベーテ/ゲージ対応がより高い genus へ拡張される。