[論文レビュー] The level structure in quantum K-theory and mock theta functions

Yongbin Ruan, Ming Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2018

Advanced Mathematical Identities参考文献 48被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、クェーシーマップのモジュライ空間上の行列式ラインバンドルを用いて、量子K理論におけるレベル構造を導入し、J関数のアデール的特徴付けを確立するとともに、トーリック多様体の置換同変量子K理論に対するミラー定理を証明する。驚くべきことに、簡単な例におけるミラーマップにラマヌジャンのモック・トーティ級数が現れる。

ABSTRACT

This is the first in a sequence of papers to develop the theory of levels in quantum K-theory and study its applications. Our main results in this paper are toric mirror theorems for permutation-equivariant quantum K-theory with level structure. In some of the simplest examples, we see the surprising appearance of Ramanujan's mock theta functions.

研究の動機と目的

• クェーシーマップのモジュライ空間上の行列式ラインバンドルを用いてレベルパラメータを組み込むことで、量子K理論におけるレベルの理論を構築すること。
• Givental-Tonitaの手法を一般化して、レベル構造を備えた量子K理論におけるJ関数のアデール的特徴付けを提供すること。
• レベル構造を用いて、滑らかで射影的なトーリック多様体の置換同変量子K理論に対するミラー定理を確立すること。
• 簡単な例におけるミラーマップにラマヌジャンのモック・トーティ級数が自然に現れるかを検討し、数論と量子K理論を結びつけること。

提案手法

• 普遍Gバンドルのモジュライスタック上のコホモロジーの逆行列式の引き戻しとしてレベル-l 行列式ラインバンドルを定義する。
• 普遍曲線と評価写像を用いて、一般の滑らかで射影的な多様体へ定義を拡張する。ベクトルバンドルの引き戻しの導来押し出しを用いる。
• クェーシーマップ理論におけるレベル-l 小さなI関数を構成し、q-Pochhammer記号とモノドロミーパラメータを含む生成関数として表現する。
• 量子K理論のコーンのアデール的記述を用いて、J関数の像をレベル-l 構造に関して特徴付ける。
• 留数公式と対称化理論を用いて、特に非同変極限においてミラー予想と整合することを検証する。
• K理論的S作用素の多項式性に関するギャップのため、壁を越える手法からGivental-Tonitaのアデール的技法に切り替える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表現論におけるレベルの概念が、量子K理論に自然に組み込まれるか？
• RQ2 レベル構造がクェーシーマップフレームワークにおけるJ関数と量子K理論のコーンに与える影響は何か？
• RQ3 レベル構造付き量子K理論におけるJ関数のアデール的特徴付けは何か？
• RQ4 モック・トーティ級数が、トーリック多様体の量子K理論のミラーマップに自然に現れるか？
• RQ5 アデール的アプローチを用いて、レベル構造付きの置換同変量子K理論に対するミラー定理を確立できるか？

主な発見

• レベル-l 行列式ラインバンドルは、$\mathcal{D}^{R,l} = \mu^*(\text{det}_R)^l$ と定義され、ここで $\mu$ はクェーシーマップのモジュライスタックから主バンドルのモジュライへの忘却的準同型である。
• レベル構造付き量子K理論におけるJ関数のアデール的特徴付けが確立され、対称化理論を用いて非レベルの場合を一般化する。
• 滑らかで射影的なトーリック多様体の置換同変量子K理論に対して、レベル構造付きでミラー定理が証明された。
• 非同変極限において、レベル-l 小さなI関数は、対称化理論における量子K理論のコーン $\mathcal{L}_{S_{\infty}}^{R,l}$ 上にある。
• ターゲット $X_{a,-b} = (\mathbb{C}^2 \setminus \{0\}) / \mathbb{C}^*$ に対して、オルビフォールドI関数の非ねじれ成分はq-Pochhammer記号を用いて表現され、モック・トーティ級数に類似する構造を明らかにする変換が施される。
• 特に $X_{\mathbf{1},-\mathbf{1}} = O(-1)^{\oplus r}_{\mathbb{P}^{s-1}}$ の場合、指数部分 $q^{\frac{n(n-1)}{2}})^{1+s-r}$ を通じてI関数はモック・トーティ級数と関連する形を示し、$l = 1+s$ のとき特に顕著である。