[論文レビュー] 4d/2d $ ightarrow $ 3d/1d: A song of protected operator algebras

Mykola Dedushenko, Yifan Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 128被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、4次元 $υ=2$ 超共形場理論（SCFT）における作用素代数と、3次元 $υ=4$ SCFTにおける1次元トポロジカル量子力学（TQM）の間の明示的で正確な辞書を、$S^1$ 上での次元削減を介して確立する。4次元理論の $S^1 \times S^3$ 上でのCardy極限を用い、4次元のW代数のOPEデータと3次元の短い星積の間の明示的写像を提示し、局在化を用いてその妥当性を検証する。さらに、$(A_1,D_{2n+1})$ 型および $(A_1,A_{2n-2})$ 型のArgyres-Douglas理論の新たな3次元ミラー双対を提案し、既存のチャーラル代数の提案に対する強い整合性の確認を提供する。

ABSTRACT

Superconformal field theories (SCFT) are known to possess solvable yet nontrivial sectors in their full operator algebras. Two prime examples are the chiral algebra sector on a two dimensional plane in four dimensional $\mathcal{N}=2$ SCFTs, and the topological quantum mechanics (TQM) sector on a line in three dimensional $\mathcal{N}=4$ SCFTs. Under Weyl transformation, they respectively map to operator algebras on a great torus in $S^1 imes S^3$ and a great circle in $S^3$, and are naturally related by reduction along the $S^1$ factor, which amounts to taking the Cardy (high-temperature) limit of the four dimensional theory on $S^1 imes S^3$. We elaborate on this relation by explicit examples that involve both Lagrangian and non-Lagrangian theories in four dimensions, where the chiral algebra sector is generally described by a certain W-algebra, while the three dimensional descendant SCFT always has a (mirror) Lagrangian description. By taking into account a subtle R-symmetry mixing, we provide explicit dictionaries between selected operator product expansion (OPE) data in the four and three dimensional SCFTs, which we verify in the examples using recent localization results in four and three dimensions. Our methods thus provide nontrivial support for various chiral algebra proposals in the literature. Along the way, we also identify three dimensional mirrors for Argyres-Douglas theories of type $(A_1, D_{2n+1})$ reduced on $S^1$, and find more evidence for earlier proposals in the case of $(A_1, A_{2n-2})$, which both realize certain superconformal boundary conditions for the four dimensional $\mathcal{N}=4$ super-Yang-Mills. This is a companion paper to arXiv:1911.05741.

研究の動機と目的

• 4次元 $υ=2$ SCFTにおけるチャーラル代数（VOA）と、$S^1$ を用いたコンパクト化によって得られる3次元 $υ=4$ SCFTにおけるTQMセクターとの間の明示的かつ具体的な対応関係を確立すること。
• 両次元における最近の局在化結果を用いて、4次元と3次元の間のOPEデータの写像が正当化されることを検証すること。
• $(A_1,D_{2n+1})$ および $(A_1,A_{2n-2})$ 型のArgyres-Douglas理論の新たな3次元ミラー双対を提案・検証すること。
• 特にW代数を含むものも含めた、4次元 $υ=2$ SCFTのVOAを特定する既存の提案に対する整合性の確認を提供すること。
• 非ラングランジアン理論において特に重要な、Rスピン混合が削減プロセスに果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 4次元 $υ=2$ SCFTを $S^1$ でコンパクト化し、$S^1 \times S^3$ 上でのCardy極限を用いて、チャーラル代数セクターを3次元 $υ=4$ SCFTにおけるTQMセクターへ写像する。
• $(A_1,D_{2n+1})$ および $(A_1,A_{2n-2})$ 型Argyres-Douglas理論の3次元ミラー双対を、行列モデル技法とフーリエ変換を用いて明示的に構成する。
• 装飾付きシュール指標とその3次元への縮約を用い、4次元と3次元の間のOPEデータを一致させる。局在化結果を活用する。
• 3次元TQMにおける短い星積形式を用いて、最小ノンアーベル的軌道のフィルター付き量子化を記述する。
• 球面分配関数のフーリエ変換を用いてミラー写像を導出し、特定のパrameter再定義のもとで $Z_{\text{SQED}_n}^{\text{mirror}}$ と $Z_{\text{SQED}_n}$ が同一視されることを示す。
• 三角関数および双曲線関数を含む恒等式の検証を行い、分配関数の一致を確認し、3次元ミラー写像の整合性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元 $υ=2$ SCFTにおけるチャーラル代数は、$S^1$ を用いたコンパクト化によって得られる3次元 $υ=4$ SCFTにおけるTQMセクターへどのように写像されるか？
• RQ2 特にRスピン混合が存在する場合に、4次元W代数のOPE係数と3次元短い星積の係数との間の正確な辞書は何か？
• RQ3 この削減機構を用いて、$(A_1,D_{2n+1})$ および $(A_1,A_{2n-2})$ 型のArgyres-Douglas理論の新たな3次元ミラー双対を提案できるか？
• RQ4 4次元および3次元における局在化結果は、OPEデータおよび分配関数の間の提案された写像をどのように支持するか？
• RQ5 Rスピン混合は、4次元のチャーラル代数と3次元TQM構造との間の整合性を保つために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、$(A_1,D_{2n+1})$ 型Argyres-Douglas理論の3次元ミラー双対を、$n-1$ 個の $U(1)$ ゲージノードを持つ線形クウェイバとして明示的に導出する。これは4次元理論の $S^1$ 削減から得られる。
• $(A_1,A_{2n-2})$ 理論に関しては、3次元ミラーが $n$ 個の $U(1)$ ノードを持つクウェイバとして特定され、フーリエ変換を用いた球面分配関数の一致によりミラー写像が検証された。
• 4次元の $SU(3)$ SQCDのW代数のOPEデータが、装飾付きシュール指標を用いて3次元の短い星積と一致し、行列モデル計算でも明確な一致が得られた。
• $(A_1,D_{2n+2})$ の3次元ミラーの分配関数は $Z_{(A_1,D_{2n+2})}^{\text{mirror}} = \frac{1}{4(n+1)} \frac{\sinh(2\pi m / (n+1))}{\cosh(\pi(m-u)/(n+1)) \cosh(\pi(m+u)/(n+1)) \sinh(2\pi m)}$ として計算され、双対性が確認された。
• ミラー写像 $Z_{\text{SQED}_n}$ の有効性は、恒等式 $1/\text{ch}(x) = \int dy e^{2\pi i x y}/\text{ch}(y)$ を用いて、$\xi_a = m_a - m_{a-1}, u = \eta$ の下で $Z_{\text{SQED}_n}(\eta,\{m_a\}) = Z_{\text{SQED}_n}^{\text{mirror}}(\{\xi_a\},u)$ が成り立つことから確認された。
• 三角関数の恒等式 $\prod_{a=1}^n \sin(\pi a / (n+1)) = (n+1)/2^n$ が導出・検証され、これは $S^1$ コンパクト化における分配関数の一致に不可欠な役割を果たした。