[論文レビュー] 4d N=2 SCFT and singularity theory Part I: Classification

Dan Xie, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 52被引用数 28

ひとこと要約

この論文は、三重特異点理論を用いて4次元 $υ=2$ 超共形場理論（SCFT）を分類し、全位相荷重 $>1$ を持つ $χ^*$ 時空作用を伴う孤立した超曲面特異点が SCFT を定義することを示している。Yau と Yu の結果を用いて、このような特異点の完全な分類がなされ、物理的データ（Seiberg-Witten幾何、中心的スピン、BPSクワイア）が特異点不変量から直接抽出できることを示している。

ABSTRACT

This is the first of a series of papers in which we systematically use singularity theory to study four dimensional N=2 superconformal field theories. Our main focus in this paper is to identify what kind of singularity is needed to define a SCFT. The constraint for a hypersurface singularity has been found by Sharpere and Vafa, and here the complete set of solutions are listed using a related mathematical result of Stephen S. T. Yau and Yu. We also study other type of singularities such as the complete intersection, quotient of hypersurface singularity by a finite group and non-isolated singularity. We finally conjecture that any three dimensional rational Gorenstein graded isolated singularity should define a N=2 SCFT. We explain how to extract various interesting physical quantities such as Seiberg-Witten geometry, central charges, exact marginal deformations, BPS quiver, RG flow trajectory, etc from the properties of singularity.

研究の動機と目的

• 4次元 $υ=2$ SCFTを特異点の代数的幾何学的性質を用いて体系的に分類すること。
• 有効な SCFT を定義するための三重特異点における必要なおよび十分な幾何的条件を同定すること。
• 特異点のミニバーシャル変形が、SCFT の完全な Seiberg-Witten 幾何学と物理的データを符号化していることを示すこと。
• 超曲面にとどまらず、完全交差、商特異点、非孤立特異点へと分類を拡張すること。
• すべての3次元有理的 Gorenstein 重み付き孤立特異点が $υ=2$ SCFT を定義するという予想を提示すること。

提案手法

• 正の重みの和が >1 である $χ^*$-不変な超曲面特異点を幾何的基盤として用いる。
• Yau と Yu の重み付き斉次特異点の分類を応用し、すべての SCFT を定義する特異点を列挙する。
• 特異点のミニバーシャル変形 $F(z,\lambda) = f(z) + \sum \lambda_\alpha \phi_\alpha(z)$ を用いて Seiberg-Witten 幾何学を構成する。
• ヤコビ代数から得られる $\Omega = \frac{dz_0 \wedge dz_1 \wedge dz_2 \wedge dz_3}{dF}$ を用いて SW 微分を計算する。
• ヤコビ代数の基底 $\{\phi_\alpha\}$ を用いて、カラーブランチのモジュライとそのスケーリング次元を特定する。
• 中心的スピン、BPSクワイア、RGフローといった物理的量を、ミルナー数やスペクトルといった特異点不変量に直接対応付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの三重特異点が幾何的エンジニアリングによって4次元 $υ=2$ SCFT を生じさせるか？
• RQ2 特異点が $U(1)_R$ 対称性を持つ整合的な SCFT を定義するための完全な数学的条件は何か？
• RQ3 中心的スピンやBPSスペクトルといった物理的データは、特異点不変量からどのように抽出できるか？
• RQ4 1次元の特異的軌跡を持つ非孤立特異点を用いて、クラス ${\cal S}$ の構成を再定式化できるか？
• RQ5 すべての3次元有理的 Gorenstein 重み付き孤立特異点が4次元 $υ=2$ SCFT を定義するのに十分か？

主な発見

• Yau と Yu の分類に従い、全位相荷重 $\sum q_i > 1$ を持つ重み付き斉次特異点の完全リストに従って、孤立超曲面特異点から生じるすべての4次元 $υ=2$ SCFT が分類されている。
• Seiberg-Witten 幾何学はミニバーシャル変形によって完全に決定され、SW 微分は $\Omega = \frac{\wedge dz_i}{dF}$ で与えられる。
• カラーブランチパラメータのスケーリング次元は、特異点の $\mathbb{C}^*$-重みから導かれる。これにより $\Omega$ が次元1を持つことが保証される。
• SCFT の中心的スピン $a$ と $c$ は、ヤコビ代数のスペクトルと $\mathbb{C}^*$-重みから計算される。
• BPSクワイアと正確なマージナル変形は、ヤコビ代数の構造とその基底 $\{\phi_\alpha\}$ に符号化されている。
• クオイア $N{-}SU(N){-}SU(N){-}N$ を持つクラス ${\cal S}$ 理論は、$t$-パラメータに $\mathbb{C}^*$ 時空作用を伴う非孤立特異点として幾何学的に実現され、その変形は質量およびカラーブランチパラメータに対応する。