[論文レビュー] A complement on representations of Hom-Lie algebras

Zhen Xiong|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ホム・リー代数に対する新しいコブダリー作用素の族を導入し、それらのコhomology群が同型であることを証明する。また、ベクトル空間 𝔤 上のホム・リー代数構造と、Λ𝔤*⊗V 上のこれらのコブダリー作用素との間に一対一対応を確立し、D²=0 を満たす次数1の作用素を用いたリー代数の表現理論の古典的結果を一般化する。

ABSTRACT

In this paper, we give a new series of coboundary operators of Hom-Lie algebras. And prove that cohomology groups with respect to coboundary operators are isomorphic. Then, we revisit representations of Hom-Lie algebras, and generalize the relation between Lie algebras and their representations to Hom-Lie algebras.

研究の動機と目的

• ホム・リー代数に対する新しいコブダリー作用素の族を導入すること。
• これらの新しい作用素によって定義されるコhomology群が同型であることを証明すること。
• Λ𝔤*⊗V 上の次数1の作用素を用いて、ホム・リー代数の表現理論を再考・一般化すること。
• 𝔤 上のホム・リー代数構造と、Λ𝔤*⊗V 上のコブダリー作用素との間に一対一対応を確立すること。
• 古典的なリー代数の表現の特徴付け（D²=0 によるもの）をホム・リー設定に拡張すること。

提案手法

• ホム・リー代数の k-チェイン空間 C^k(𝔤;V) 上に、新しいコブダリー作用素 d^s を定義する。
• d^{s+1} ∘ d^s = 0 を証明し、これが有効なコブダリー作用素であることを確立する。
• 明示的なチェーンホモトピーまたは同型写像の構成により、異なる s に対して定義されるコhomology群が同型であることを示す。
• Λ𝔤*⊗V 上に次数1の作用素 D を構成し、D²=0 かつ次数付きライブニッツ則を満たすことを示す。
• 作用素 D を用いて、D²=0 と α および β との整合性を満たす条件により、ホム・リー代数の表現を特徴付ける。
• ホム・ジャコビ恒等式と表現の公理が、作用素 D が D²=0 を満たし、ライブニッツ則を満たすことと同値であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホム・リー代数に対して、同型コhomologyをもたらす新しいコブダリー作用素の族を定義できるか？
• RQ2 ベクトル空間 𝔤 上のホム・リー代数構造と、Λ𝔤*⊗V 上のコブダリー作用素との間に一対一対応が存在するか？
• RQ3 次数1の作用素 D を Λ𝔤*⊗V 上に用いることで、D²=0 による古典的リー代数の表現特徴付けをホム・リー代数に一般化できるか？
• RQ4 新しいコブダリー作用素 d^s は、ホム・リー代数の表現理論におけるねじれ写像 α および β とどのように作用するか？
• RQ5 Λ𝔤*⊗V 上の次数1の作用素 D が D²=0 を満たすとき、それが有効なホム・リー代数構造および表現に対応するための条件は何か？

主な発見

• 論文は、C^k(𝔤;V) 上に d^{s+1} ∘ d^s = 0 を満たす新しいコブダリー作用素 d^s の族を構成し、これが有効なコホモロジー的作用素であることを確認した。
• 定理2.6により、異なる s に対して定義されるコホモロジー群が同型であることが証明された。
• 定理3.4により、𝔤 上のホム・リー代数構造と、Λ𝔤*⊗V 上のコブダリー作用素との間に一対一対応が存在することが確立された。
• ベクトル空間 V におけるホム・リー代数 (𝔤, [·,·], α) の β に関する表現は、D²=0 を満たし、次数付きライブニッツ則を満たす Λ𝔤*⊗V 上の次数1の作用素 D の存在と同値である。
• ホム・ジャコビ恒等式と表現の公理は、作用素 D が D²=0 を満たし、ライブニッツ則を満たすことと同値であり、これは古典的リー代数の場合の一般化である。
• 作用素 d^s は、d^{s+1} ∘ ᾱ = ᾱ ∘ d^s を満たすことで、ねじれ写像 α と整合性を持つことが保証されている。