[論文レビュー] A global Torelli theorem for rigid hyperholomorphic sheaves

Eyal Markman, Sukhendu Mehrotra|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$K3^{[n]}$-型の非分解複素シンプレクティック多様体上の剛体ハイパーカレント層に対して、グローバルTorelli定理を確立する。2つの剛体Azumaya代数が、モジュライ空間対に変形同値であり、対角線上で同じ特異性型を持つ場合、それらは同型または双対であることを証明する。結果として、安定性およびモノドロミー条件の下で一意性が得られ、一般化された$K3$表面の変形理論への応用が得られる。

ABSTRACT

We prove a global Torelli theorem for the moduli space of marked triples (X,m,A), consisting of an irreducible holomorphic symplectic manifold X, a marking m of its second integral cohomology, and a stable and rigid sheaf A of Azumaya algebras on the cartesian product X^d, d>0, such that the second Chern class of A is invariant under a finite index subgroup of the monodromy group of X. The main example involves the rank 2n-2 sheaf over the cartesian square of holomorphic symplectic manifolds of K3[n]-type considered in the work of the first author arXiv:1105.3223. The result will be used in the authors forthcoming work on generalized deformations of K3 surfaces.

研究の動機と目的

• 非分解複素シンプレクティック多様体の$K3^{[n]}$-型に対して、剛体ハイパーカレント層のグローバルTorelli定理を確立すること。
• 変形同値性および特異性型の制約の下で、$X \times X$ 上の剛体Azumaya代数の一意性を証明すること。
• Picard群が自明または巡回的で、Beauville-Bogomolov次数が非負である場合、変形同値性および安定性条件を満たす一意な対$\{A, A^*\}$が存在することを示すこと。
• 今後の研究における一般化された$K3$表面の変形理論の基礎的結果を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、$X \times X$ 上のAzumaya代数の反射的層を定義し、ケーラー類に関する安定性を重点的に研究する。
• 彼らは、ハイパーカレント変形およびモノドロミー作用と整合するための開条件かつツイスター不変条件である条件1.6を導入する。
• 証明はツイスター族とハイパーカレント変形を用い、スロープ安定性および対角線上の特異性型を保存する。
• 三つ組$(X,\eta,E)$のための粗いモジュライ空間$\widetilde{{\mathfrak{M}}}_{\Lambda}^{0}$を構成する。ここで$E$はモノドロミー不変$c_2$を持つ安定な反射的Azumaya代数である。
• モノドロミー群$Mon^2(X)$はモジュライ空間に作用し、Azumaya代数が自身またはその双対に写されるかどうかを決定する非自明な特徴$\mathrm{cov}$を持つ。
• 主な議論は、スロープ安定層がハイパーカレント変形の下でも安定のままであることに基づく。同型性は、モジュライ空間内でのファイバーごとの比較により導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 剛体Azumaya代数が、変形型および特異性行動によって同型または双対性を除き一意に定まる条件は何か？
• RQ2 $Mon^2(X)$は安定Azumaya代数のモジュライ空間にどのように作用するか。また、特徴$\mathrm{cov}$は同型類の分類にどのような役割を果たすか？
• RQ3 反射的Azumaya代数の安定性はハイパーカレント変形の下でも保たれるか。これはTorelli型の一意性結果とどのように関係するか？
• RQ4 層$E_x$のブラウアー類とそのスロープ安定性の関係は何か。特に、類が$\Lambda/(2n-2)\Lambda$において位数$2n-2$である場合にどうか？
• RQ5 Picard群が自明または巡回的で、Beauville-Bogomolov次数が非負である場合、一意な対$\{A, A^*\}$が存在するか？

主な発見

• 2つの剛体Azumaya代数$A_1$および$A_2$が、$(\omega,\omega)$-スロープ安定で、$(M \times M, A_M)$に変形同値であり、対角線上で同じ特異性型を持つならば、それらは同型または双対である。
• $Pic(X)$が自明または巡回的で、Beauville-Bogomolov-Fujiki次数が非負である場合、$(X \times X, A)$が$(M \times M, A_M)$に変形同値で、かつすべてのケーラー類に関してスロープ安定であるような、一意な対$\{A, A^*\}$が存在する。
• モノドロミー群$Mon^2(X)$は特徴$\mathrm{cov}$を介してモジュライ空間に作用し、任意の$g \in Mon^2(X)$に対して$A$と$A^{(*^{\mathrm{cov}(g)})}$は変形同値である。
• $E_x$のスロープ安定性はハイパーカレント変形の下でも保存され、一般のツイスター経路に沿ったハイパーカレント変形の安定性から、点$x$における$E_x$の安定性が導かれる。
• ツイスター族の一般ファイバーにおける$E_{t,x'}$のブラウアー類は位数$2n-2$をもち、これはKähler類$\omega_t$に関するスロープ安定性を意味する。
• 条件1.6はツイスター変形の下で保存され、ファミリーにおいて開であるため、安定性および特異性制約が変形全体にわたって維持される。