[論文レビュー] A Local Resolution of the Problem of Time. XIV. Grounding on Lie's Mathematics

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 81被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Lieの数学を用いて背景独立性を基礎づけ、関係的記述、Lie括弧による閉包性と観測可能代数、Lie代数的剛性における変形理論を用いて、量子重力における時空問題の局所的解決を提示する。主な貢献は、背景独立性の複数の側面——関係的記述、閉包性、観測可能、変形、RIO不変性——を、Lie理論的構造から体系的に導出できる統一的で理解しやすい枠組みを提供することであり、一般相対性理論の再フォリエーション不変性がRIO不変性として一般化されている。

ABSTRACT

In a major advance and simplification of this field, we show that A Local Resolution of the Problem of Time - also viewable as A Local Theory of Background Independence - can at the classical level be described solely by of Lie's Mathematics. This comprises i) Lie derivatives to encode Relationalism, including via solving the generalized Killing equation. ii) Lie brackets to formulate Closure, via Lie's Algorithm suitably extended to accommodate Dirac and topological insights, producing generator Lie algebraic structures: Lie algebras or algebroids. iii) Observables defined by Lie brackets relations, recastable as explicit PDE systems to be solved using the Flow Method, and constitute observables Lie algebras. iv) The `passing families of theories through the Dirac Algorithm' approach to Spacetime Construction from Space, and to obtaining more structure from less internally to each of space and spacetime separately, are identified as deformations that work selectively when Lie Algebraic Rigidity is encountered. v) Reallocation of Intermediary-Object (RIO) Invariance: the general Lie Theory's commuting-pentagon analogue of posing Refoliation Invariance for GR. i) to v) cover respectively the Relationalism, Closure, Observables, Deformations and RIO super-aspects of Background Independence, Lie Theory moreover already collates i) to iii) and the internal case of iv) as multiple interacting aspects. The Problem of Time's multiple interacting facets are then explained as, firstly, having 2 copies of this Lie collation, 1 for each of spacetime and space primalities. Secondly, a Wheelerian two-way route between these two primalities, comprising v) and iv)'s `spacetime from space' version. We further develop the Comparative Theory of Background Independence thus. We can even give a `pillars of the Foundations of Geometry' parallel of our Background Independence super-aspects.

研究の動機と目的

• 時空問題を背景独立性の局所的理論として再定式化することにより、量子重力における時空問題を解決すること。
• 関係的記述、閉包性、観測可能、変形、RIO不変性といった背景独立性の複数の側面を、1つのLie理論的枠組みに統合すること。
• Lieの元来の数学的構造に根ざさせることで、時空問題の文献を簡素化・一般化し、大学院レベルの研究者にとってアクセス可能なものとすること。
• Lie代数的剛性とRIO不変性を、妥当な背景独立理論の選択基準として同定すること。
• NijenhuisおよびNambuの数学を用いて、この枠組みを超対称および超重力理論へと拡張できること。

提案手法

• 関係的記述を表現するためにLie微分を用い、特に配置空間的または時空的関係的記述のための一般化されたキリング方程式を解くこと。
• 閉包性を定式化するためにLie括弧を用い、Diracと位相的洞察を統合したLieのアルゴリズムを拡張し、生成子Lie代数またはLieアレブロイドを導出すること。
• 対称性生成子との零可換括弧関係により観測可能を定義し、1階線形偏微分方程式系に再定式化し、フロー法により解ける形にすること。
• フロー法を用いて観測可能の偏微分方程式系を解き、流れをLie群の1パラメータ部分群または積分曲線として解釈すること。
• 「Diracアルゴリズムを通じて理論の族を通過させる」ことを、Lie代数的剛性の下で選択的に作用する変形手続きとして同定すること。
• 一般相対性理論の再フォリエーション不変性の一般化として、RIO不変性（RIO不変性）を、可換五角形条件に類似した形で導入し、一般相対性理論を超える応用を可能とすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、Lieの数学のみを用いて、古典的レベルで時空問題を解決できるか？
• RQ2 Lie微分、括弧、代数が、背景独立性の5つの上位的側面をどのように統合的に統合するか？
• RQ3 Lie代数的剛性が、妥当な背景独立理論の選択基準としてどのように機能するか？
• RQ4 RIO不変性は、背景独立枠組み内での異なる観測者間の観測的一致性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 フロー法を用いて、観測可能をグローバルに割り当てることは可能か？また、基礎となる幾何の特異性や滑らかでない性質がもたらす影響は何か？

主な発見

• 時空問題と背景独立性は、すべての5つの上位的側面——関係的記述、閉包性、観測可能、変形、RIO——がLie構造から体系的に導出可能な1つのLie理論的枠組みに統合されている。
• 観測可能がLie代数を形成することを示し、その構成がフロー法により1階線形偏微分方程式に還元可能であることが判明した。
• LieのアルゴリズムにDirac的および位相的洞察を統合した場合、生成子Lie代数またはLieアレブロイドが得られ、閉包性が達成される。一般相対性理論におけるDiracアレブロイドがその例である。
• Lie代数的剛性は、コhomology群 $\mbox{H}^{2}(\mathfrak{g},\mathfrak{g})$ を用いて特徴づけられ、理論がより構造的な形に変形可能かどうかを識別する選択基準として機能する。
• RIO不変性は、一般相対性理論の再フォリエーション不変性を可換五角形条件として一般化し、異なる中間的対象や観測者フレーム間の一貫性を保証する。
• NijenhuisおよびNambuの数学を用いることで、この枠組みは超対称および超重力理論へと拡張可能であり、一般相対性理論を超える広範な適用可能性を示している。