[論文レビュー] A Note on Decidable Separability by Piecewise Testable Languages

Wojciech Czerwiński, Wim Martens|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2014

semigroups and automata theory参考文献 60被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、コンテキストフリーランゲージが部分的にテスト可能な言語によって分離可能かどうかの決定可能性を確立している。これは、コンテキストフリーランゲージが部分的にテスト可能かどうかを判定することは決定不能であるのに対し、顕著な結果である。著者らはこの結果を、空集合問題と対角問題が決定可能である弱い操作に対して安定な言語クラスに一般化している。これには、ラベル付きベクトル加算システムによって定義される言語も含まれる。

ABSTRACT

The separability problem for languages from a class $\mathcal{C}$ by languages of a class $\mathcal{S}$ asks whether, for two given word languages $I$ and $E$ from $\mathcal{C}$, there exists a language $S$ from $\mathcal{S}$ which includes $I$ and excludes $E$, that is, $I \subseteq S$ and $S \cap E = \emptyset$. It is known that separability for context-free languages by any class containing all definite languages (such as regular languages) is undecidable. We show that separability of context-free languages by piecewise languages is decidable. This may be remarkable in the light that it is undecidable whether a context-free language is piecewise testable. We generalize this decidability result by showing that, for every class of languages that is robust under some rather weak operations and has decidable emptiness and diagonal problems, separability with respect to piecewise testable languages is decidable. An example of such a class is the class of languages defined by labeled vector addition systems.

研究の動機と目的

• コンテキストフリーランゲージが部分的にテスト可能な言語によって分離可能かどうかが決定可能かどうかを特定すること。
• 部分的にテスト可能な言語による分離可能性が依然として決定可能である、より広範な条件下を調査すること。
• 決定可能性の結果をコンテキストフリーランゲージを超えて、特定の閉包性および意思決定特性を持つ他の言語クラスへと拡張すること。
• 弱い閉包性の性質と、空集合問題および対角問題の決定可能性が、分離可能性の決定可能性を可能にする役割を検討すること。
• ラベル付きベクトル加算システムによって定義されるようなクラスに一般適用可能なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 弱い操作（例えば、積集合や補集合）に対して安定な言語クラスの閉包性を活用し、分離可能性を分析する。
• 分離可能性問題を、目的となる言語クラス内での空集合問題と対角問題の決定可能性に還元する。
• 論理的およびオートマトン理論的技法を用いて、部分的にテスト可能な言語の特徴を特定し、それらとコンテキストフリーランゲージとの相互作用を分析する。
• 言語分離の文脈において、禁止語の部分列または部分列によって定義される部分的にテスト可能な言語の構造を活用する。
• 考察中の言語クラスの閉包性および意思決定特性に基づいた、一般の決定可能性基準を確立する。
• ラベル付きベクトル加算システムによって定義されるような特定のクラスに、このフレームワークを適用し、広範な適用可能性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つのコンテキストフリーランゲージが部分的にテスト可能な言語によって分離可能かどうかが決定可能かどうか？
• RQ2 言語クラスのどのような構造的性質および閉包性が、部分的にテスト可能な言語による分離可能性の決定可能性を保証するか？
• RQ3 コンテキストフリーランゲージに対する決定可能性結果を、正規言語や決定的言語を超えた他のクラスへ一般化できるか？
• RQ4 言語クラスの空集合問題および対角問題が、部分的にテスト可能な言語による分離可能性の決定可能性とどのように関係するか？
• RQ5 弱い閉包操作が、複雑な言語クラスにおける分離可能性の決定可能性を可能にする役割は何か？

主な発見

• コンテキストフリーランゲージが部分的にテスト可能な言語によって分離可能かどうかは決定可能であるが、コンテキストフリーランゲージが部分的にテスト可能かどうかを判定することは決定不能である。
• 弱い操作に対して閉じており、空集合問題と対角問題が決定可能な任意の言語クラスに対して、分離可能性の決定可能性が成り立つ。
• この結果は、必要な閉包性および意思決定特性を満たす、ラベル付きベクトル加算システムによって定義される言語クラスなどに一般化可能である。
• このフレームワークは、多様な言語クラスにわたる分離可能性の決定可能性を統一的に確立する手法を提供する。
• 鍵となる洞察は、部分的にテスト可能な言語の構造が、目的となるクラス内の決定可能問題と組み合わせることで、効果的な分離を可能にすることにある。
• このアプローチは、コンテキストフリーランゲージの部分的テスト可能性を直接分析するのを避け、代わりに閉包性および意思決定特性に依存して決定可能性を確立する。