[論文レビュー] A Pointwise Characterisation of the PDE System of Vectorial Calculus of Variations in $L^\infty$

Birzhan Ayanbayev, Nikos Katzourakis|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2016

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$L^\infty$におけるベクトル値変分法に現れるPDE系の点ごとの特徴付けを、一般化解—$\chi$-解フレームワークを用いて定義されたもの—が、アフィン変化に関する変分のもとで、本質的上界汎関数 $\mathrm{E}_\infty(u,\mathcal{O}) = \mathrm{ess}\,\sup_{\mathcal{O}} \mathrm{H}(\cdot,u,\mathrm{D}u)$ の局所最小解であることを示すことによって確立する。主な貢献は、ハミルトニアンの勾配変数に関する勾配の核への射影を含む、完全非線形PDE系を用いた $L^\infty$ オイラー＝ラグランジュ系の変分的特徴付けである。

ABSTRACT

Let $n,N\in \mathbb{N}$ with $Ω\subseteq \mathbb{R}^n$ open. Given $H \in C^2(Ω imes \mathbb{R}^N imes \mathbb{R}^{Nn}),$ we consider the functional \[ ag{1} \label{1} E_\infty (u,\mathcal{O})\, :=\, \underset{\mathcal{O}}{\mathrm{ess}\,\sup}\, H (\cdot,u,\mathrm{D} u) ,\ \ \ u\in W^{1,\infty}_ ext{loc}(Ω,\mathbb{R}^N),\ \ \ \mathcal{O} \Subset Ω. \] The associated PDE system which plays the role of Euler-Lagrange equations in $L^\infty$ is \[ \label{2} ag{2} \left\{ \begin{array}{r} H_{P}(\cdot, u, \mathrm{D}u)\, \mathrm{D} \big(H(\cdot, u, \mathrm{D} u)\big) \, = \, 0, \ \ \ H(\cdot, u, \mathrm{D} u) \, [\![H_{P}(\cdot, u, \mathrm{D} u)]\!]^\bot \Big(\mathrm{Div}\big(H_{P}(\cdot, u, \mathrm{D} u)\big)- H_η(\cdot, u, \mathrm{D} u)\Big)\, =\, 0, \end{array} ight. \] where $[\![A]\!]^\bot := \mathrm{Proj}_{R(A)^\bot}$. Herein we establish that generalised solutions to \eqref{2} can be characterised as local minimisers of \eqref{1} for appropriate classes of affine variations of the energy. Generalised solutions to \eqref{2} are understood as $\mathcal{D}$-solutions, a general framework recently introduced by one of the authors.

研究の動機と目的

• ベクトル値汎関数に対する $L^\infty$ オイラー＝ラグランジュPDE系の変分的特徴付けを提供すること。
• $\mathcal{D}$-解フレームワークにおける一般化解が、汎関数 $\mathrm{E}_\infty$ の局所最小解であることを確立すること。
• 射影と発散項を含む完全非線形系を用いて、$L^\infty$ PDE系を点ごとに特徴付けること。
• 一般化解とヤング測度を用いて、$L^\infty$ 変分法の理論をベクトル値写像へと拡張すること。

提案手法

• $L^\infty$ PDEの一般化解概念として $\mathcal{D}$-解フレームワークを導入すること。
• エネルギー汎関数として本質的上界汎関数 $\mathrm{E}_\infty(u,\mathcal{O}) = \mathrm{ess}\,\sup_{\mathcal{O}} \mathrm{H}(\cdot,u,\mathrm{D}u)$ を用いること。
• 特定のクラス $\mathcal{A}^{\parallel,\infty}_{\mathcal{O}}(u)$ および $\mathcal{A}^{\bot,\infty}_{\mathcal{O}}(u)$ に属する $A$ に対するアフィン変化 $u \mapsto u + A$ を用いて最小性をテストすること。
• 摂動エネルギーの下位ディニ微分 $\underline{\mathrm{D}}r(0^+)$ を用いて必要条件を導出すること。
• PDE系：$\mathrm{H}_P \mathrm{D}(\mathrm{H}) = 0$ および $\mathrm{H} \cdot [\![\mathrm{H}_P]\!]^\perp \left( \mathrm{Div}(\mathrm{H}_P) - \mathrm{H}_\eta \right) = 0$ を導出すること。
• 微分可能な2階導関数が存在しない $W^{1,\infty}$ 写像に対処するため、ヤング測度と拡散ヘッシアンを用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトル値問題における $L^\infty$ 汎関数の最小化性を捉える適切な一般化解概念とは何か？
• RQ2 ベクトル値写像に対して、$L^\infty$ オイラー＝ラグランジュPDE系を点ごとにどのように特徴付けることができるか？
• RQ3 $\mathcal{D}$-解が $\mathrm{E}_\infty$ の局所最小解である条件は何か？
• RQ4 エネルギー汎関数のアフィン変化を用いて、$L^\infty$ PDE系を特徴付けることができるか？
• RQ5 射影作用素 $[\![\mathrm{H}_P]\!]^\perp$ と発散項は、変分的構造においてどのように相互作用するか？

主な発見

• $\mathcal{A}^{\parallel,\infty}_{\mathcal{O}}(u)$ および $\mathcal{A}^{\bot,\infty}_{\mathcal{O}}(u)$ におけるアフィン変化のもとで、$\mathcal{D}$-解フレームワークにおける一般化解は、$\mathrm{E}_\infty$ の正確な局所最小解である。
• PDE系 $\mathrm{H}_P \mathrm{D}(\mathrm{H}) = 0$ および $\mathrm{H} \cdot [\![\mathrm{H}_P]\!]^\perp (\mathrm{Div}(\mathrm{H}_P) - \mathrm{H}_\eta) = 0$ は、$\mathcal{D}$-解が $\mathrm{E}_\infty$ の最小解であることを特徴付ける。
• $C^2$ 写像に対して、$\mathcal{D}$-解条件は、$A^T \mathrm{H}_P$ の発散が消える古典的PDE系に簡略化される。
• すべての許容可能なアフィン変化に対して、下位ディニ微分 $\underline{\mathrm{D}}r(0^+)$ は非負であり、$\mathrm{E}_\infty(u) \leq \mathrm{E}_\infty(u+A)$ を保証する。
• 射影 $[\![\mathrm{H}_P]\!]^\perp$ は、2番目の式が $\mathrm{H}_P$ の像に直交するように作用させ、正しい幾何的構造を捉える。
• ヤング測度と拡散ヘッシアンを用いることで、非滑らか写像に対しても理論が拡張され、$L^\infty$ 問題に対する強固な変分的枠組みが可能になる。