[論文レビュー] A Probability Monad as the Colimit of Finite Powers

T. A. Fritz, Paolo Perrone|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、有限の1階モーメントを持つ完備距離空間上のカントロヴィチモノイドを、有限乗のコリミットとして定義し、積分および確率のための測度フリーな基礎を提供する。このモノイドの代数は、短いアフィン写像を用いたバナッハ空間の閉凸部分集合と同値であることが示され、ヴァン・ブレーゲルの研究を一般化し、確率論を完全に圏論的に行うことを可能にする。

ABSTRACT

We define a monad on the category of complete metric spaces with short maps, which assigns to each space the space of Radon probability measures on it with finite first moment, equipped with the Kantorovich--Wasserstein distance. It is analogous to the Giry monad on the category of Polish spaces, and it extends a construction due to van Breugel for compact and for 1-bounded complete metric spaces. We prove that this Kantorovich monad arises from a colimit construction on finite powers, which formalizes the intuition that probability measures are limits of finite samples. The proof relies on a new criterion for when an ordinary left Kan extension of lax monoidal functors is a monoidal Kan extension. This colimit characterization allows for the development of integration theory and other things, such as the treatment of measures on spaces of measures, completely without measure theory. We also show that the category of algebras of the Kantorovich monad is equivalent to the category of closed convex subsets of Banach spaces with short affine maps as the morphisms.

研究の動機と目的

• 短い写像を伴う完備距離空間上にモノイドを定義し、有限の1階モーメントを持つラドン確率測度とカントロヴィチ＝ワッサーシュタイン距離を割り当てる。
• ヴァン・ブレーゲルの構成を、コンパクトかつ1有界な空間から、一般の有限の1階モーメントを持つ完備距離空間へ拡張する。
• コリミット構成を用いて、積分および高階の測度のための圏論的で測度フリーな基礎を提供する。
• カントロヴィチモノイドの代数とバナッハ空間の閉凸部分集合の間の同値性を確立する（短いアフィン写像を射とする）。

提案手法

• 有限乗のコリミットとしてカントロヴィチモノイドを定義し、確率測度が有限サンプルの極限として生じるという直観を形式化する。
• ラックスモノイダル関手の通常の左ケン・拡張がモノイダルケン・拡張であることを示す新しい基準を用い、モノイド構造の保存を保証する。
• 完備性と距離構造との適合性を保証するために、ラドン確率測度の空間にカントロヴィチ＝ワッサーシュタイン距離を導入する。
• 短いアフィン写像を射として用い、バナッハ空間の閉凸部分集合を用いてモノイドの代数を特徴付ける。
• 従来の測度論的構成に依存せずに、測度の空間上の積分理論および測度の取り扱いを発展させる。
• コリミット構造を活用して、完全に代数的かつ距離的設定における圏論的性質および普遍的構成を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カテゴリカルなコリミット手法を用いて、有限の1階モーメントを持つ完備距離空間上に確率モノイドをどのように構成できるか。
• RQ2 有限サンプルがどのように確率測度を近似するのか、そしてこの直観をどのように圏論的に形式化できるか。
• RQ3 ラックスモノイダル関手の左ケン・拡張がいつモノイダルケン・拡張となるのか、そしてそれがカントロヴィチモノイドにどのように適用できるか。
• RQ4 カントロヴィチモノイドの代数の圏的構造は何か、そして凸幾何学とどのように関係するか。
• RQ5 従来の測度論に依存せずに、積分および高階の測度を、純粋に圏論的および距離的構造のみを用いてどのように発展させられるか。

主な発見

• カントロヴィチモノイドは有限乗のコリミットとして構成され、確率測度が有限サンプルの極限であるという直観の圏論的形式化を提供する。
• このモノイドは、ヴァン・ブレーゲルの構成を、コンパクトかつ1有界な空間から、有限の1階モーメントを持つ一般の完備距離空間へ拡張する。
• 特定のラックスモノイダル関手の左ケン・拡張がモノイダルケン・拡張であることを保証する新しい基準が得られ、これはモノイド構造の維持に不可欠である。
• カントロヴィチモノイドの代数の圏は、短いアフィン写像を射とするバナッハ空間の閉凸部分集合の圏と同値である。
• 測度論的構成に依存せず、完全に圏論的および距離的構造のみを用いて、積分理論および測度の空間上の測度の取り扱いを発展させることができる。
• このモノイドは、メトリック設定における確率論を完全に圏論的枠組みで統合するものであり、メトリック的、確率的、凸的構造を統合する。