[論文レビュー] A quantum algorithm to count weighted ground states of classical spin Hamiltonians

Bhuvanesh Sundar, Roger Paredes+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、古典的スピンハミルトニアンの重み付き基底状態を数えるために、修正された断熱的量子最適化（AQO）および量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）を提示する。基底状態の重みに比例するように最終量子状態を再重み付けすることで、基底状態の重みが小さい場合には、古典的最適モンテカルロシミュレーション（OMCS）よりも準二次的量子加速を達成でき、NISQデバイスにおける組み合わせ的カウント問題における量子優位性の道筋を示す。

ABSTRACT

Ground state counting plays an important role in several applications in science and engineering, from estimating residual entropy in physical systems, to bounding engineering reliability and solving combinatorial counting problems. While quantum algorithms such as adiabatic quantum optimization (AQO) and quantum approximate optimization (QAOA) can minimize Hamiltonians, they are inadequate for counting ground states. We modify AQO and QAOA to count the ground states of arbitrary classical spin Hamiltonians, including counting ground states with arbitrary nonnegative weights attached to them. As a concrete example, we show how our method can be used to count the weighted fraction of edge covers on graphs, with user-specified confidence on the relative error of the weighted count, in the asymptotic limit of large graphs. We find the asymptotic computational time complexity of our algorithms, via analytical predictions for AQO and numerical calculations for QAOA, and compare with the classical optimal Monte Carlo algorithm (OMCS), as well as a modified Grover's algorithm. We show that for large problem instances with small weights on the ground states, AQO does not have a quantum speedup over OMCS for a fixed error and confidence, but QAOA has a sub-quadratic speedup on a broad class of numerically simulated problems. Our work is an important step in approaching general ground-state counting problems beyond those that can be solved with Grover's algorithm. It offers algorithms that can employ noisy intermediate-scale quantum devices for solving ground state counting problems on small instances, which can help in identifying more problem classes with quantum speedups.

研究の動機と目的

• 統計物理学、工学の信頼性、組み合わせ最適化の分野において不可欠な、古典的スピンハミルトニアンの基底状態を数えるという長年の課題に取り組む。
• AQOおよびQAOAを基底状態の最小化を超えて拡張し、相対誤差に関するユーザー指定の信頼度で、重み付き基底状態の数の正確な推定を可能にする。
• 近い将来のノイズの多い中規模量子（NISQ）デバイスにおいて、カウント問題で量子加速を達成する可能性を示す。
• 提案された量子アルゴリズムの漸近的時間計算量を、古典的最適モンテカルロシミュレーション（OMCS）およびグローバー基盤の手法と比較する。
• QAOAが、総基底状態重みが小さいカウント問題において、古典的手法よりも準二次的加速を示す条件を特定する。

提案手法

• AQOおよびQAOAを、各古典的基底状態の重みに比例するように最終量子状態の振幅が保証されるように、非一様な初期状態と特化したハミルトニアンの時間発展を導入することで修正する。
• QAOAにおける変分パラメータ探索により、角度αjおよびβjを最適化し、最終状態の振幅が期待される基底状態の重み分布を正しく反映するようにする。
• AQOまたはQAOAを繰り返し実行する統計的推定手法を実装し、最終状態のサンプリングによって基底状態の総重みを推定する。
• エッジカバーのカウントのため、問題を基底状態が有効なエッジカバーに対応する古典的イジング型ハミルトニアンに写像し、パラメータqを用いて重みを割り当てる。
• AQOの時間計算量を解析的に、QAOAの時間計算量を数値的に分析し、アルゴリズムの時間発展と必要なサンプリング反復回数の両方を考慮する。
• 修正されたグローバー・オракルフレームワークを用いて振幅推定を可能にし、量子状態準備が効率的なカウントに利用可能であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AQOおよびQAOAは、単一の基底状態の探索を超えて、任意の古典的スピンハミルトニアンの重み付き基底状態の数を推定するために適応可能か？
• RQ2 総基底状態重みが小さいカウント問題において、修正されたQAOAは古典的最適モンテカルロシミュレーション（OMCS）に対して量子加速を達成するか？
• RQ3 修正されたAQOおよびQAOAアルゴリズムの漸近的時間スケーリングは何か？ そして、古典的手法およびグローバー基盤の手法と比較するとどうなるか？
• RQ4 QAOAが基底状態の総重み推定において、どのような条件下で準二次的加速を示すか？
• RQ5 提案されたアルゴリズムは現在のNISQデバイスで実装可能か？ また、変分パラメータ探索のためのリソース要件は何か？

主な発見

• 線形スケジュールを用いたAQOは、固定された相対誤差および信頼度において、古典的OMCSよりも量子加速を達成できない。その時間スケーリングはOMCSより遅い。
• QAOAは、基底状態の総重みが小さい場合には、古典的OMCSに対して準二次的加速を達成し、T_QAOA ∼ 1/√P のスケーリングを示す。ここでPは基底状態の総重みを表す。
• QAOAの総計算時間は、変分パラメータ探索およびカウント推定ステップのオーバーヘッドを含んでも、OMCSのそれよりも漸近的に小さい。
• 数値シミュレーションにより、ランダムグラフおよびさまざまな重みパラメータに対して、QAOAがT_QAOAにおいて二次的加速を示すことが確認され、一般のグラフにおいて準二次的スケーリングの期待に裏付けられる。
• 本手法により、割り当てられた重みに比例する確率で基底状態を重要度サンプリング可能となり、工学的・物理的システムにおける制約付きサンプリングおよびカウントに適している。
• 本手法は、既存の量子カウントアルゴリズムでは効率的に解けない広範な#P困難なカウント問題に適用可能であり、量子優位性の新たな道筋を開く。