[論文レビュー] A remark on Kähler metrics of constant scalar curvature on ruled complex surfaces

Vestislav Apostolov, Christina W. Tønnesen-Friedman|ArXiv.org|Nov 11, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、種数 ≥ 2 のコンpaktoなリーマン面上の幾何的ルールド複素表面が、基礎となる正則ベクトル束が多項式安定でない場合には、定値スカラー曲率ケーラー（CSC Kähler）計量をもたないことを確立している。Futaki不変量の障害と極値計量の一意性を用いて、安定性理論と変形技法を駆使して背理法により非存在性を証明している。

ABSTRACT

We point out how some recent developments in the theory of constant scalar curvature Kähler metrics can be used to clarify the existence issue for such metrics in the special case of geometrically ruled complex surfaces.

研究の動機と目的

• 幾何的ルールド複素表面における定値スカラー曲率ケーラー（CSC Kähler）計量の存在問題を解決すること。
• 特に、束の安定性、特に多項式安定性がルールド面上でのCSC Kähler計量の存在を決定づける役割を明らかにすること。
• 最近の極値計量の一意性および安定性理論の進展を応用し、非多項式安定な場合におけるCSC Kähler計量の非存在を除外すること。
• 種数 ≥2 の曲線上の非多項式安定なベクトル束が、Futaki不変量の非消滅を引き起こし、CSC Kähler計量の存在を妨げることを示すこと。

提案手法

• CSC Kähler計量の存在に対する障害としてFutaki不変量を用い、ルールド面上の正則ベクトル場に対してそれを明示的に計算する。
• Chen–Donaldson–Tianの唯一性定理を適用し、固定されたケーラー類内での任意の2つの極値ケーラー計量は、双正則等長写像を介して一致することを示す。
• Narasimhan–Ramananの近似定理を用いて、非多項式安定束を安定な束へ変形し、ルールド表面の双正則型を保つ。
• 正則ベクトル場に対するFutaki不変量が非消滅していることは、Futakiの基準に従い、CSC Kähler計量の存在を矛盾させる。
• 正則ベクトル場のルールド表面への作用を分析し、固定点をもつS¹作用の存在を導出し、束の分解を導く。
• Ross–Thomasによる勾配安定性に関する結果と極値計量理論を組み合わせ、非半安定束が、有理ケーラー類内でのCSC Kähler計量の非存在を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則ベクトル束 E がどのような条件下で、ルールド表面 P(E) が定値スカラー曲率ケーラー計量をもつか。
• RQ2 非多項式安定束をもつルールド面上で、Futaki不変量の非消滅がCSC Kähler計量の非存在を排除するために用いられるか。
• RQ3 固定されたケーラー類内での極値ケーラー計量の一意性が、種数 ≥2 の曲線上の非多項式安定束に適用された際に、矛盾を引き起こすか。
• RQ4 基礎となるベクトル束の安定性が、幾何的ルールド複素表面におけるCSC Kähler計量の存在に、どの程度影響を及えるか。

主な発見

• コンパクトなリーマン面（種数 g ≥ 2）上の正則ベクトル束 E が多項式安定でない場合、ルールド表面 P(E) はいかなる定値スカラー曲率ケーラー計量ももたない。
• P(O ⊕ L) 上のC×作用に付随する正則ベクトル場に対するFutaki不変量の非消滅は、直接的にCSC Kähler計量の存在を妨げる。
• 極値ケーラー計量の一意性定理は、ルールド表面がCSC Kähler計量をもてば、任意の極値計量はCSCでなければならないことを示し、非多項式安定な状況ではこれが成立しない。
• 非多項式安定な E に対して、E の安定変形 E′ が存在し、それに対応するルールド表面 P(E′) は、局所的に対称でない極値計量をもつが、これは一意性に反し、CSC計量の非存在を示す。
• この結果は、任意のランクの束、種数 ≥2 の曲線に対し拡張され、束が半安定でない場合にはCSC Kähler計量が存在しないことを示している。
• 本論文は、Ross–Thomasが定義した勾配安定性が、非半安定束に対して有理ケーラー類内でのCSC Kähler計量の非存在を示すことを確認しており、ランク2を超える場合にも成立する。