[論文レビュー] A strongly convergent numerical scheme from EnKF continuum analysis

Dirk Blömker, Claudia Schillings+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、アンサンブルカルマンインバージョンをモデル化するスカラー確率微分方程式（SDE）に対する、新しい弱いトゥーリング（tamed）数値スキームを提示し、非グローバルリプシッツ性を示すドリフト項および拡散係数に対しても強収束を証明する。局所化技術とブートストラップによるモーメントバウンドを組み合わせることで、完全なアンサンブルカルマンフィルタフレームワークの主要なダイナミクスを捉えた簡略化モデルにおいて収束を確立する。

ABSTRACT

The Ensemble Kalman methodology in an inverse problems setting can be viewed as an iterative scheme, which is a weakly tamed discretization scheme for a certain stochastic differential equation (SDE). Assuming a suitable approximation result, dynamical properties of the SDE can be rigorously pulled back via the discrete scheme to the original Ensemble Kalman inversion. The results of this paper make a step towards closing the gap of the missing approximation result by proving a strong convergence result in a simplified model of a scalar stochastic differential equation. We focus here on a toy model with similar properties than the one arising in the context of Ensemble Kalman filter. The proposed model can be interpreted as a single particle filter for a linear map and thus forms the basis for further analysis. The difficulty in the analysis arises from the formally derived limiting SDE with non-globally Lipschitz continuous nonlinearities both in the drift and in the diffusion. Here the standard Euler-Maruyama scheme might fail to provide a strongly convergent numerical scheme and taming is necessary. In contrast to the strong taming usually used, the method presented here provides a weaker form of taming. We present a strong convergence analysis by first proving convergence on a domain of high probability by using a cut-off or localisation, which then leads, combined with bounds on moments for both the SDE and the numerical scheme, by a bootstrapping argument to strong convergence.

研究の動機と目的

• アンサンブルカルマンインバージョンの理論的裏付けを強化するため、その手法から導出された簡略化されたSDEモデルを分析すること。
• ドリフト項および拡散係数が非グローバルリプシッツ性を示す場合の数値スキームにおける強収束の課題に対処すること。
• このようなSDEに対して通常必要とされる強いトゥーリングよりも弱いトゥーリング形式を用いた離散化スキームを開発すること。
• ブートストラップによる議論を通じて、高確率的ドメイン制御とモーメントバウンドを組み合わせ、収束を厳密に確立すること。

提案手法

• アンサンブルカルマンインバージョンを、弱いトゥーリング離散化として定式化する。
• 完全な逆問題の本質的な非線形性を保持する簡略化されたスカラーSDEモデルを分析する。
• 解のドメインを高確率的領域に制御するため、局所化（カットオフ）技術を適用する。
• SDEおよび数値スキームの両方のモーメントバウンドを導出し、ブートストラップ議論を可能にする。
• 局所化ドメイン上での高確率的収束を用いて、グローバルな強収束を導出する。
• 確率的局所化とモーメント推定を組み合わせることで、強いトゥーリングを回避しながら強収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アンサンブルカルマンインバージョンにおけるスカラーSDEの数値スキームは、非グローバルリプシッツ性を示すドリフト項および拡散係数に対しても強収束を達成できるか？
• RQ2 標準的な強いトゥーリング技術とは比較して、弱いトゥーリング形式を用いることで強収束を達成することは可能か？
• RQ3 局所化とモーメントバウンドをどのように組み合わせることで、特異な非線形性が存在する状況での強収束を証明できるか？
• RQ4 極限SDEの動的性質を、収束解析を通じて離散スキームに厳密に反映させることは可能か？
• RQ5 確率的局所化は、このようなSDEに対して標準的なイタール＝マリヤンのスキームが失敗するのをどのように克服するか？

主な発見

• 提案された数値スキームは、非グローバルリプシッツ性を示すドリフト項および拡散係数を有するスカラーSDEに対し、強収束を達成し、標準的なイタール＝マリヤンスキームの主要な限界を克服する。
• スキームは強いトゥーリング条件が通常必要とされる状況よりも弱いトゥーリング離散化を採用しており、収束のためのより緩い条件を満たす。
• 収束は、解の高確率的ドメインに制限する局所化技術によって確立される。
• SDEおよび数値スキームの両方のモーメントバウンドが導出され、ブートストラップ議論に用いられ、局所的収束をグローバルな強収束へと拡張する。
• 本分析により、簡略化モデルからの収束結果を完全なアンサンブルカルマンインバージョンフレームワークへと拡張する理論的基盤が提供される。
• 本手法は、確率的局所化とモーメント制御を組み合わせることで、標準スキームが失敗する状況でも強収束が達成可能であることを示している。