[論文レビュー] Additive versus abelian 2-representations of fiat 2-categories

Volodymyr Mazorchuk, Vanessa Miemietz|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ファイアット2カテゴリの加法的およびアーベル的2表現の間の橋渡しを果たすために、アーベル化2ファンクターを導入し、加法的閉包を用いたアーベル的設定における新しい2表現の構成を可能にする。主な貢献は、2イデアルによるファイアット2カテゴリの商を介してセル2表現を特徴づけることであり、ファイアット2カテゴリがセル2表現に作用する際の像が「J-単純」であることを証明している——これは表現論における単純性の2カテゴリ的類似物である。

ABSTRACT

We study connections between additive and abelian 2-representations of fiat 2-categories, describe combinatorics of 2-categories in terms of multisemigroups and determine the annihilator of a cell 2-representation. We also describe, in detail, examples of fiat 2-categories associated to $\mathfrak{sl}_2$-categorification in the sense of Chuang and Rouquier, and 2-categorical analogues of Schur algebras.

研究の動機と目的

• ファイアット2カテゴリの加法的およびアーベル的2表現理論を、体系的なアーベル化2ファンクターの導入によって統一すること。
• 特に新しい2表現の構成の文脈において、加法的2表現とそのアーベル化との関係を明確にすること。
• セル2表現の annihilator を特徴づけ、ファイアット2カテゴリの構造におけるその役割を確立すること。
• セル2表現の理論を加法的設定に拡張し、射影的対象を介してアーベル的対応物と同等であることを示すこと。
• セル2表現を、二重セルに関連する2イデアルによるファイアット2カテゴリの商として再構成する新しい構成法を提供すること。

提案手法

• 2カテゴリの組合せ論を記述するための多重半群を用い、1-射の同型類が水平合成に関して多重半群をなすことを定義する。
• 多重半群上にグリーンの関係（左、右、二重セル）を定義し、それらが2カテゴリにおける古典的なセル構造に対応することを示す。
• 加法的2表現からアーベル的2表現への写像を保つカテゴリカル構造を維持するアーベル化2ファンクターを構成する。
• 主な加法的2表現にアーベル化プロセスを適用し、安定な対象集合の加法的閉包を介して加法的部分表現を抽出する。
• 任意のアーベル的2表現が、その射影的対象によって生成される加法的2部分表現のアーベル化と同値であることを証明する。
• 2イデアルと商の概念を用いて、ファイアット2カテゴリがセル2表現に作用する際の像のJ-単純性を定義し、表現論における単純性の2カテゴリ的類似物を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的およびアーベル的2表現が、2ファンクター的構成を通じてどのように体系的に関係づけられるか。
• RQ2 アーベル化2ファンクターが加法的2表現から新しい2表現を生成する際に果たす役割は何か。
• RQ3 セル2表現の annihilator は、ファイアット2カテゴリにおける二重セルの構造とどのように関係するか。
• RQ4 加法的設定におけるセル2表現が、アーベル的対応物とどの程度類似しているか、特に単純性および2イデアルの観点から。
• RQ5 セル2表現を、二重セルに関連する2イデアルによるファイアット2カテゴリの商として再構成できるか。

主な発見

• アーベル化2ファンクターにより、アーベル化された設定において2カテゴリの作用に関して安定な対象の集合の加法的閉包をとることで、新しい2表現が構成可能である。
• 任意のファイアット2カテゴリのアーベル的2表現は、その射影的対象によって生成される加法的2部分表現のアーベル化と同値である。
• ファイアット2カテゴリがセル2表現に作用する際の像はJ-単純である。これは、非自明な2イデアルが表現を必ず消滅させることを意味する。
• セル2表現は、二重セルに対応する2イデアルによるファイアット2カテゴリの商として再構成可能であり、これにより代替的な構成法が得られる。
• シュール代数に関連する2カテゴリ $ D_{n,r} $ において、左セルと右セルはそれぞれ半標準ヤング盤の行と列の成分によって分類される。
• $ D_{n,r} $ の脱カテゴリフィケーションはシュール代数 $ S(n,r) $ と同型であり、分解不能射影的関手はロビンソン＝シェンステッド＝クヌース対応を介してドゥの標準基底に対応する。