[論文レビュー] Adiabatic groupoids and secondary invariants in K-theory

Vito Felice Zenobi|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 44被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Lie群ガロアのアディアバティック変形群ガロア $G_{ad}^{\bullet}$ を用いて、微細幾何学およびfoliation理論における先行研究を一般化する、K理論的二次不変量を導入する。これらの不変量について、Lie群ガロア版のデローカライズドAPS指数定理を用いて誤った方向の函子的性質（下付き写像）を確立し、二次不変量の積公式を導出し、特異的かつ非コンパクトな幾何にまで高次指数理論の枠組みを拡張する。

ABSTRACT

In this paper we define K-theoretic secondary invariants attached to a Lie groupoid $G$. The K-theory of $C^*_r(G_{ad}^0)$ (where $G_{ad}^0$ is the adiabatic deformation $G$ restricted to the interval $[0,1)$) is the receptacle for K-theoretic secondary invariants. We give a Lie groupoid version of construction given by Piazza and Schick in the setting of the Coarse Geometry. Our construction directly generalises to more involved geometrical situation, such as foliations, well encoded by a Lie groupoid. Along the way we tackle the problem of producing a wrong-way functoriality between adiabatic deformation groupoid K-groups with respect to transverse maps. This extends the construction of the lower shriek map given by Connes and Skandalis. Moreover we attach a secondary invariant to the two following operators: the signature operator on a pair of homotopically equivalent Lie groupoids; the Dirac operator on a Lie groupoid equipped with a metric that has positive scalar curvature $s$-fiber-wise. Furthermore we prove a Lie groupoid version of the Delocalized APS Index Theorem of Piazza and Schick. Finally we give a product formula for the secondary invariants and we state stability results about cobordism classes of Lie groupoid structures and bordism classes of Lie groupoid metric with positive scalar curvature along the $s$-fibers. This is the revised version accepted by Advances in Mathematics.

研究の動機と目的

• Lie群ガロア $G_{ad}^{\bullet}$ を用いて、K理論的二次不変量を定義すること。
• Higson-RoeおよびPiazza-Schickの二次不変量を、foliationのようなより複雑な幾何的設定に一般化すること。
• 横断的群ガロア準同型写像の下で、二次不変量の誤った方向の函煩的性質（下付き写像）を確立すること。
• デローカライズドアティヤ・パトロール・シンガー指数定理のLie群ガロア版を証明すること。
• アディアバティック群ガロアC*-代数のK理論における二次不変量の積公式を導出すること。

提案手法

• 一次インデックス類 $\partial[D] \in K_{*+1}(S \otimes B)$ が消える場合に、$K_*(E)$ 内の標準的リフトとして二次不変量 $\varrho(D,w)$ を定義する。
• Lie群ガロア $G$ のアディアバティック変形 $G_{ad}^\circ$ を $[0,1)$ 上に構成し、二次不変量の受容体 $K_*(C^*_r(G_{ad}^\circ))$ を定義する。
• $S = C_0(0,1)$ を用いたC*-代数の完全系列の枠組みを適用し、K理論的類の階層（基本類、一次不変量、二次不変量）を定義する。
• KK理論における境界写像を誘導する準同型写像 $\varphi: A' \to B$ を構成することで、アディアバティック群ガロアのK群間の下付き写像への誤った方向の函煩的性質を確立する。
• 滑らかで横断的な1-コチェインを用いたLie群ガロアの分類空間構成を用い、幾何的データとK理論的不変量を関連付ける。
• YuおよびRoeの局所化代数とC*-代数的技法を適用し、非コンパクトおよび特異的群ガロア設定への指数論的道具の拡張を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K理論的二次不変量は、微細幾何からLie群ガロアへ、特にfoliationの文脈でどのように一般化できるか？
• RQ2 Lie群ガロア $G$ に関連する二次不変量の正しいK理論的受容体は何か？
• RQ3 横断的群ガロア準同型写像の下で、誤った方向の函煩的性質（下付き写像）を二次不変量に対して構成可能か？
• RQ4 Lie群ガロア版のデローカライズドAPS指数定理は成立するか？また、二次不変量とどのように関係するか？
• RQ5 二次不変量の積構造は何か？また、アディアバティック変形とどのように作用するか？

主な発見

• 一次インデックス類 $\partial[D]$ が消える場合に、選ばれた「根拠」$w$ を用いて、$K_*(E)$ 内の標準的リフトとして二次不変量 $\varrho(D,w)$ を構成する。
• 二次不変量の受容体は、$G$ の$[0,1)$ 上のアディアバティック変形 $G_{ad}^\circ$ に対する $K_*(C^*_r(G_{ad}^\circ))$ として特定され、これまでものの構成を一般化する。
• KK理論における境界写像を誘導する準同型写像 $\varphi: A' \to B$ を用いて、誤った方向の函煩的性質を確立し、下付き写像をアディアバティック群ガロア設定へ拡張する。
• Lie群ガロア版のデローカライズドAPS指数定理を証明し、二次不変量を群ガロア上の横断的楕円型作用素の指数論と結びつける。
• 二次不変量の積公式を導出し、K理論のカップ積とアディアバティック変形構造との整合性を示す。
• この構成が函煩的かつホモトピー不変であることが示され、分類空間 $BG$ は群ガロアコホホロジーの普遍1-コチェインを実現し、不変量の幾何的実現を可能にする。