[論文レビュー] Amenability and exactness for dynamical systems and their C*-algebras

Claire Anantharaman-Delaroche|ArXiv.org|May 2, 2000

Advanced Operator Algebra ResearchMathematics参考文献 9被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、C*-動的系のアメニタリティとそのクローズド積の正確性／核性の間の明確な対応関係を確立し、離散群がコンパクト空間上のアメニタリック作用をもつことと、ちょうどそのときにその群が正確であることを示している。本研究は、群の理論に依存しない直接的で群の理論を用いない証明を提供し、動的系のアメニタリティと作用素代数的性質を結びつける主要な結果を示している。また、アメニタリックである無限大における群のヒルベルト空間への一様埋め込みへの応用も示している。

ABSTRACT

In this survey, we study the relations between amenability (resp. amenability at infinity) of C*-dynamical systems and equality or nuclearity (resp. exactness) of the corresponding crossed products.

研究の動機と目的

• C*-動的系のアメニタリティとそのクローズド積の正確性または核性との関係を明確にすること。
• 群の理論に依存しない、明快で直接的な証明を提供することにより、これらの関係を明らかにすること。
• 離散群がコンパクト空間上のアメニタリック作用をもつことと、ちょうどそのときにその群が正確であることを確立すること。
• 動的系のアメニタリティとヒルベルト空間への一様埋め込みとの関係を拡張すること。
• 変換群の無限大におけるアメニタリティの概念を一般化し、正確性と関連づけること。

提案手法

• 変換群のための近似的不変連続平均（a.i.c.m.）の概念を導入し、アメニタリティを定義する。
• 正の型関数とヒルベルト C*-加群の技術を用いて、係数関数を介して正の型カーネルを特徴付ける。
• フォビニの定理と近似の議論を用いて、コンパクト台付き関数のネットと不変平均との関係を明らかにする。
• Kirchbergによる、l²(G) 上の有界作用素へのユニタルな完全正値マップによる正確性の特徴づけを応用する。
• 支持と減衰が制御されたカーネルの列を用いて、ヒルベルト空間への一様埋め込みを構成する。
• アメニタリック G-空間からの G--equivariant な全射を用いて、無限大におけるアメニタリティを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-動的系のアメニタリティが、そのクローズド積の核性または正確性を示すための条件は何か？
• RQ2 群の理論に依存せずに、離散群の正確性とコンパクト空間上でのアメニタリック作用の存在との同値性を証明できるか？
• RQ3 群作用の無限大におけるアメニタリティは、ヒルベルト空間への一様埋め込みとどのように関係するか？
• RQ4 正の型関数と係数写像は、動的系におけるアメニタリティを特徴付けるために果たす役割は何か？
• RQ5 群の理論的群の無限大におけるアメニタリティが、その簡約 C*-代数の正確性をどれほど示唆するか？

主な発見

• 離散群がコンパクト空間上のアメニタリック作用をもつことと、ちょうどそのときにその群が正確であることが示され、動的系的性質と代数的性質との深い関係が確立された。
• アメニタリック C*-動的系のフルおよびリダクションされたクローズド積は一致し、かつクローズド積が核的であることと、系がアメニタリックであることとは同値である。
• 有限生成群の無限大におけるアメニタリティは、支持が制御されたカーネル列を用いて構成された埋め込みにより、ヒルベルト空間への一様埋め込みを示す。
• 離散群において、正確性、適切なアメニタリック拡張の存在、および支持が制御された正の型カーネルの列の存在という条件は、すべて同値である。
• 群の理論に依存しない、正確性とコンパクト空間上でのアメニタリック作用の存在との同値性の自己完結的証明を提供した。
• ユニタルな完全正値近似による正確性の特徴づけを用いて、ヒルベルト空間への一様埋め込みを構成した。