[論文レビュー] An Algebraic Approach to the Analytic Bootstrap

Luis F. Alday, Alexander Zhiboedov|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、交差関係を解ける再帰関係に変換するためのカシミア演算子を用いて、コンフォーマル場理論（CFT）における大スピン補正を代数的手段で計算する手法を開発する。高スピンオペレーターの異常次元が、主な交換とその後継者からBorel和可能な補正を受けることが示され、大Nにおける臨界O(N)模型の既知の2ループ結果を再現し、小Nにおける新しい項を予測する。

ABSTRACT

We develop an algebraic approach to the analytic bootstrap in CFTs. By acting with the Casimir operator on the crossing equation we map the problem of doing large spin sums to any desired order to the problem of solving a set of recursion relations. We compute corrections to the anomalous dimension of large spin operators due to the exchange of a primary and its descendants in the crossed channel and show that this leads to a Borel-summable expansion. We analyse higher order corrections to the microscopic CFT data in the direct channel and its matching to infinite towers of operators in the crossed channel. We apply this method to the critical $O(N)$ model. At large $N$ we reproduce the first few terms in the large spin expansion of the known two-loop anomalous dimensions of higher spin currents in the traceless symmetric representation of $O(N)$ and make further predictions. At small $N$ we present the results for the truncated large spin expansion series of anomalous dimensions of higher spin currents.

研究の動機と目的

• CFTにおける高次の補正を、先行する順序を超えて代数的フレームワークで計算するための開発。
• カシミア演算子を用いて、解析的ブートストラップにおける大スピン和の問題を解ける再帰関係に変換する。
• 主な交換とその後継者タワーからの異常次元補正を計算する。
• 大Nにおける臨界O(N)模型での2ループ異常次元を再現し、小Nにおける切り捨てられた級数を計算する。
• CFTにおける大スピン展開のBorel和可能性の普遍性を確立する。

提案手法

• コンフォーマルスピン $ J $ を $ J^2 = (\Delta + s + \gamma_s/2)(\Delta + s + \gamma_s/2 - 1) $ で定義し、カシミア作用を簡略化するため、交差関係を変換する。
• 交差関係にカシミア演算子 $ \mathcal{C} $ を作用させることで、コンフォーマルブロック展開係数 $ \mathcal{F}^{(n)}(v) $ の再帰関係を生成する。
• コラinearコンフォーマルブロックおよび一般化自由場の3点関数から導かれるカーネル $ K^\Delta(j,v) $ を用い、$ \hat{a}(J) $ と $ \gamma_J $ をOPEデータに関連付ける。
• 得られた再帰関係を $ v $ の各次数ごとに順次解き、$ \hat{a}(J) $ と $ \gamma_J $ の補正を体系的に計算可能にする。
• スカラー主な交換（次元 $ \Delta_\epsilon = 2m $）にこの手法を適用し、大スピン展開の明示的解析的表現を導出する。
• $ \delta $ における解析接続を用いて、整数 $ \delta $ から一般の $ \delta $ へ結果を拡張し、完全な大スピン展開を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CFTにおける高スピンオペレーターの異常次元に対する非摂動的補正を、どのように体系的かつ一貫して計算できるか？
• RQ2 主なオブジェクトの後継者を交換する際、OPE係数と異常次元のための大スピン展開の構造はどのようなものか？
• RQ3 カシミア演算子を用いて、解析的ブートストラップを再帰関係を生成する代数的形に再定式化できるか？
• RQ4 CFTにおける大スピン展開のBorel和可能性はどのような性質を持ち、普遍的か？
• RQ5 主な交換からの高次の補正は、交差チャネルにおける無限個のオペレーターのタワーとどのように一致するか？

主な発見

• $ \hat{a}(J) $ と $ \gamma_J $ の大スピン展開は漸近的であるが、Borel和可能であり、OPEデータの明確な再構成を保証する。
• 次元 $ \Delta_\epsilon = 2m $ のスカラー主な交換に対して、異常次元およびOPE係数の大スピン展開の明示的解析的表現が得られる。
• 大 $ N $ において、この手法は $ O(N) $ のトレースレス対称表現における高スピンカレントの2ループ異常次元の最初の数項を再現する。
• 小 $ N $ において、この手法は高スピンカレントの異常次元の切り捨てられた大スピン展開を計算し、新たな予測を提供する。
• 次元 $ \Delta_\epsilon = 2 $、$ \Delta = \mu - 1 $、$ d = 2\mu $ の場合、OPE係数の補正 $ \delta\hat{a} $ は $ \delta\hat{a} = \frac{(\mu-3)(\mu-1)}{2} \frac{c_0}{J^{\Delta_\epsilon + 2}} + \cdots $ と求められ、既知の結果と一致する。
• この手法により、従来の解析的ブートストラップの公式の有効範囲が条件 $ \Delta - \Delta_\epsilon/2 > 0 $ を超えて拡張され、適用範囲が一般化される。