[論文レビュー] An asymptotical separability criterion for bipartite density operators

Romàn R. Zapatrin|ArXiv.org|Apr 22, 2005

Quantum Information and Cryptography参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、連続的集合法を用いた反復的・漸近的分離可能性基準を、双粒子量子系に提案する。与えられた状態 ρ が分離可能である場合かつその場合に限り、分離可能な密度行列の列が収束するような列を構築し、収束速度および任意の許容誤差 κ に対する有限ステップの意思決定手順を提供する。

ABSTRACT

For a given density matrix $ρ$ of a bipartite quantum system an asymptotical separability criterion is suggested. Using the continuous ensemble method, a sequence of separable density matrices is built which converges to $ρ$ if and only if $ρ$ is separable. The convergence speed is evaluated and for any given tolerance parameter $κ$ an iterative procedure is suggested which decides in finite number of steps if there exists a separable density matrix $ρ_κ$ which differs from the matrix $ρ$ by at most $κ$.

研究の動機と目的

• 混合双粒子量子状態の分離可能性を特定する課題に取り組むこと。特に、PPT基準が不十分となる高次元系において有効であるようにする。
• 高次元において正確な基準が不十分となる問題を克服し、有限精度での決定が可能な構成的・アルゴリズム的手法を提供すること。
• 反復的関数反復を用いて、強靭に分離可能な状態が分離可能な演算子の列によって近似可能であることを示すこと。
• ユーザーが定めた許容誤差 κ に対して、分離可能性を有限ステップで意思決定する手順を確立すること。

提案手法

• 密度演算子を、部分系のヒルベルト空間における単位球面の積上の連続的分布として表現し、有限の凸結合を積分に置き換える。
• 初期値 X₀ = 0 から始まる反復的演算子 F(X) = X + λ(ρ - ∫∫ e^{⟨ϕϕ'|X|ϕϕ'⟩} |ϕϕ'⟩⟨ϕϕ'| dS_n dS'_n) を導入する。
• 分離可能性の強靭性を特徴付けるために、トレース関数 K とベクトル方程式 ∇K = ρ を用い、問題を超越方程式系の解法に還元する。
• 収束速度を評価するため、演算子 D を用いた収縮写像解析を実施し、C_K と C_A を含むノルムの境界を用いる。
• 系の次元 n と κ に従って、λ および許容誤差 κ を達成するための反復回数 N の明示的表現を導出する。
• 停止条件を実装：任意の反復で ||X||₁ が 2ln(C_K C_A) を超える場合、状態はエンタングルであると断定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限精度で双粒子密度行列の分離可能性を決定する構成的で反復的な手法を開発可能か？
• RQ2 分離可能な演算子の反復列が ρ に収束することは、ρ 自身が分離可能であることを示唆するか？
• RQ3 反復的手順の収束速度は何か。実用的実装のためにその上限を評価可能か？
• RQ4 許容誤差 κ 内で分離可能性を判断する有限ステップの意思決定手順を導出可能か？
• RQ5 パラメータ λ および反復回数 N は、系の次元 n と許容誤差 κ にどのように依存するか？

主な発見

• 反復列 X_m が ρ に収束することは、ρ が強靭に分離可能であることと同値であり、漸近的分離可能性の必要十分条件を提供する。
• 収束速度は収縮定数 C = (1 - 1/(n(n+1)))² で定量化され、系の次元 n に依存する。
• 許容誤差 κ を達成するための反復回数 N は、N = 2n(n+1)(ln(4ln(C_A C_K)) + ln(1/κ)) で上限が与えられ、明示的に n と κ に依存する。
• 収束を保証するため、λ を 1/(C_K C_A)² に設定する。C_K と C_A は K = n⁷/κ および C_A = 2n¹⁴ n^(n⁸/κ)/κ² から導出される。
• 任意の反復で ||X||₁ が 2ln(C_K C_A) を超える場合、状態 ρ は明確にエンタングルであると判別され、有限の停止基準が得られる。
• 本手法は、正確な基準が失敗する高次元系においても、許容誤差 κ 内で分離可能性を有限ステップで決定するアルゴリズムを提供する。