[論文レビュー] An Encoding-Decoding algorithm based on Padovan numbers

Jenan Shtayat, Ala’a Al-Kateeb|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2019

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 3被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、暗号的セキュリティを向上させるためにPadovan Q行列を用いた新しい符号化復号化アルゴリズムを提案する。メッセージを3×3のブロック行列に分割し、Padovan数列を用いた行列の累乗を適用することで、各ブロックに対して行列のべき乗から得られる固有の鍵を用いて暗号化を行う。これにより、ブロックごとの鍵の変動が実現され、セキュリティが著しく向上するとともに、行列式に基づく再構成によって復号の可逆性が保証される。

ABSTRACT

In this paper, we propose a new of coding/decoding algorithm using Padovan Q-matrices. This method is based on blocked message matrices. an advantage of this method is that the encryption of each message matrix will use a different key and that will increase the security of the method.

研究の動機と目的

• 情報伝達におけるデータセキュリティを向上させるために、Padovan数列を用いた行列ベースの符号化復号化方式を設計すること。
• Padovan Q行列を用いて各3×3メッセージブロックに動的に固有の鍵を割り当てることで、耐性を高めること。
• 中心要素の小行列式がゼロとなる場合に生じる特異行列の問題を、ゼロパディング機構を導入することで解決すること。
• 実用的で可逆性を有するアルゴリズムを提供し、検証および展開に向けた動作するMaple実装を提供すること。

提案手法

• 28文字のアルファベット（英大文字、コンマ、数字0）を用いて、メッセージを3m×3mの行列に変換する。
• メッセージ行列をm²個の重複しない3×3ブロック行列に分割し、各ブロックを独立して処理する。
• 各ブロックに対して、行列式を計算し、鍵の一部として用いる。一方、Q行列をn乗（m=1の場合はn=4、それ以外はn=m²）することで変換係数を生成する。
• 符号化では、Qⁿを用いた変換を適用し、行列式と選択された要素を含む符号化行列を生成することで、データの隠蔽を実現する。
• 復号では、行列式と変換後の行列要素から導かれるx（中心要素）に関する一次方程式を解く逆変換を用いる。
• ブロックの中心要素の小行列式がゼロの場合には、可逆性を保ちつつメッセージの整合性を損なわないよう、ゼロパディング戦略を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Padovan数列およびその関連するQ行列をどのように活用して、安全で可逆な符号化復号化アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 各メッセージブロックごとに固有の鍵（Qⁿを介して）を割り当てることで、システム全体のセキュリティにどのような影響を与えるか？
• RQ3 特異的またはほぼ特異的なブロックは、メッセージの回復やセキュリティを損なわず、どのように処理できるか？
• RQ4 Mapleのような既知の計算ツールを用いて、検証および展開が可能な効率的な実装が可能か？

主な発見

• アルゴリズムは、"HELLOALA" や "HELLOTOBETHEBESTDOYOURBEST" といったメッセージをPadovan Q行列を用いて正しく符号化・復号化でき、元のブロックが正確に再構成された。
• "HELLOALA" の場合、最初のブロックの行列式は2208であり、復号により中心要素が正しく18（'O'に対応）に復元された。
• "HELLOTOBETHEBESTDOYOURBEST" の場合、4つのブロックすべてが正しく復号され、それぞれの行列式は-1968、-794、4845、-138であり、中心要素は22、11、18、22として正しく復元された。
• 中心要素の小行列式がゼロであった場合（例："ALAJENAN"）、ゼロパディングが適用され、可逆性が保たれ、変換後に元の値が正しく復元された。
• 提供されたMapleコードは、行列式の計算およびxに関する鍵方程式の解法を含め、符号化と復号プロセスを正しく検証した。
• 本手法により、各ブロックが異なる鍵（Qⁿを介して）で暗号化されるため、均一鍵方式と比較して、 cryptanalysis に対する耐性が著しく向上した。