[論文レビュー] An explicit theory of $\pi_{1}^{\un,\crys}(\mathbb{P}^{1} - \{0,\mu_{N},\infty\})$ - V-1 : The Frobenius extended to $\pi_{1}^{\un,\DR}(\mathbb{P}^{1} - \{0,\mu_{p^{\alpha}N},\infty\})$

David Jarossay|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$mathbb{P}^1 - \{0, \mu_N, \infty\}$ の de Rham pro-unipotent fundamental group における Frobenius 構造を、$p^\alpha N$ 次の根の単位根へ拡張し、$p$-adic 多重ゼータ値を根の単位根で計算する直接的・間接的手段を統一する自然な枠組みを確立する。一般化された随伴 $p$-adic 多重ゼータ値および擬反復積分を導入することで、調和 Ihara 行動と $p$-adic 多重対数関数写像を用いて、$N$ の変動にわたる一貫性ある理論を構築する。

ABSTRACT

Let $p$ a prime number. For all $N \in \mathbb{N}^{\ast}$ prime to $p$, let $k_{N}$ be a finite field of characteristic $p$ containing a primitive $N$-th root of unity. Let $X_{k_{N},N}= ext{ }\mathbb{P}^{1} - (\{0,\infty\} \cup \mu_{N}) ext{ }/ ext{ }k_{N}$. This work is an explicit theory of the crystalline pro-unipotent fundamental groupoid $(\pi_{1}^{\un,\crys})$ of $X_{k_{N},N}$. In the parts I to IV, we have considered each possible value of $N$ separately. The purpose of part V is to study the role of the morphisms relating $\pi_{1}^{\un}(\mathbb{P}^{1} - \{0,\mu_{N_{1}},\infty\})$ and $\pi_{1}^{\un}(\mathbb{P}^{1} - \{0,\mu_{N_{2}},\infty\})$ when $N_{1}$ divides $N_{2}$. In V-1, we specify this question to the theme of part I, the computation of the Frobenius. For any $N \in \mathbb{N}^{\ast}$, let $K_{N}=\mathbb{Q}_{p}(\xi_{N})$ where $\xi_{N}\in \overline{\mathbb{Q}_{p}}$ is a primitive $N$-th root of unity, and $X_{K_{N},N} = \mathbb{P}^{1} - (\{0,\infty\} \cup \mu_{N}) ext{ }/ ext{ }K_{N}$. For $N$ prime to $p$, we are used to view the Frobenius of $\pi_{1}^{\un,\crys}(X_{k_{N},N})$ as a structure on $\pi_{1}^{\un,\DR}(X_{K_{N},N})$. In V-1, we show that the Frobenius of $\pi_{1}^{\un,\DR}(X_{K_{N},N})$, iterated $\alpha \in \mathbb{N}^{\ast}$ times, can be extended canonically as a structure of $\pi_{1}^{\un,\DR}(X_{K_{p^{\alpha}N},p^{\alpha}N})$. This allows to define generalizations of adjoint $p$-adic multiple zeta values associated with roots of unity of order $p^{\alpha}N$, and several related objects. This also gives a canonical framework to relate to each other the direct method of computation of the Frobenius of I-1 and the indirect methods of computation of the Frobenius of I-2 and I-3.

研究の動機と目的

• varying $N$ における $\pi_1^{\un,\DR}(\mathbb{P}^1 - \{0, \mu_N, \infty\})$ 上の Frobenius の直接的・間接的計算手法を統一すること。
• $\alpha \in \mathbb{N}^*$ に対して、$\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_N,N})$ 上の Frobenius 構造を $\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N})$ に拡張すること。
• $p^\alpha N$ 次の根の単位根に対して、一般化された随伴 $p$-adic 多重ゼータ値および擬反復積分を定義し、$K_N = \mathbb{Q}_p(\xi_N)$ に値をとること。
• 写像 $\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N}) \to \pi_1^{\un,\DR}(X_{K_N,N})$ と Frobenius 操作の間の標準的整合性を確立すること。

提案手法

• $\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_N,N})$ 上の Frobenius 演算子を、自然な反復によって $\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N})$ に拡張する。
• 根の単位根の摂動として形式的パラメータ $\epsilon_j$ を用いて、$\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N})$ 上の $\Sigma$-調和 Ihara 行動を導入する。
• 和と擬積分の間の比較写像 $\mathrm{comp}_{\leftarrow \Sigma}$ を用いて、$p$-adic 擬随伴ハイパーログスを定義する。
• $v_p(x) > \frac{1}{p-1}$ のとき、$\sum_{l \geq 0} \frac{x^l}{l!}$ の $p$-adic 収束性を用いて、拡張された Frobenius の定義可能性を保証する。
• $\Sigma$-調和 Ihara 行動を用いて、$z \mapsto z^{p^\alpha}$ を介して $X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N}$ 上の Frobenius を $X_{K_N,N}$ 上の Frobenius と関連付ける。
• $p$-adic 擬随伴多重対数関数を、$U_K^r$ 上の局所解析関数として定義し、調和 Ihara 代数に値をとる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $\alpha \in \mathbb{N}^*$ に対して、$\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_N,N})$ 上の Frobenius は、$\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N})$ に自然に拡張可能か？
• RQ2 写像 $\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N}) \to \pi_1^{\un,\DR}(X_{K_N,N})$ は、Frobenius 構造とどのように相互作用するか？
• RQ3 $X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N}$ 上の $\Sigma$-調和 Ihara 行動の $p$-adic 対数関数的解釈は何か？
• RQ4 第I部における Frobenius の直接的計算が、第II〜IV部の間接的手法と、統一的枠組みによってどのように調和するか？
• RQ5 一般化された随伴 $p$-adic 多重ゼータ値の、$p^\alpha N$ 次の根の単位根における代数的・解析的性質は何か？

主な発見

• $\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_N,N})$ 上の Frobenius は、自然に $\alpha$ 回反復することで、$\pi_1^{\un,\DR}(X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N})$ 上の構造を定義できる。
• 拡張された Frobenius は、$\mathrm{har}_{X_{K_{p^\alpha N},p^\alpha N}} = \mathrm{har}_{X_{K_N,N}} \circ \Sigma$-調和 Ihara 行動と $z \mapsto z^{p^\alpha}$ の合成として表現される。
• 一般化された随伴 $p$-adic 多重ゼータ値は、$\mathrm{PseudoLiAd}_{p,\alpha}(X_K)$ の係数として定義され、根の単位根における多重調和和の $p$-adic 同型物である。
• $\Sigma$-調和 Ihara 行動は、$|\epsilon_j|_p < p^{-1/(p-1)}$ のとき、定義可能であり、関連するべき級数の収束を保証する。
• 比較写像 $\mathrm{comp}_{\leftarrow \Sigma}$ は、$\mathrm{comp}_{\leftarrow \Sigma} \circ \mathrm{comp}_{\leftarrow \Sigma} = \mathrm{id}$ を満たし、和と擬積分の間の双対性を確立する。
• $p$-adic 擬随伴多重対数関数は、$U_K^r$ 上の局所解析関数であり、$p^\alpha N$ 次の根の単位根における値は、一般化された随伴 $p$-MZV $\mu_{p^\alpha N}$ を与える。