[論文レビュー] An Improved Approximation Algorithm for Maximin Shares

Jugal Garg, Setareh Taki|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2019

Game Theory and Voting Systems参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、加法的評価を持つエージェント間における分割不能アイテムの公平配分のための、新規で単純なアプローチを提示する。この手法は、最大最小共有（MMS）の公平性基準に対して $(\frac{3}{4} + \frac{1}{12n})$-近似を達成する。MMS値の近似を避ける強多項式時間アルゴリズムを導入し、特に $n$ が小さい場合に顕著に前回の境界を改善し、この問題に対する最初のタイトな近似要因を確立する。

ABSTRACT

Fair division is a fundamental problem in various multi-agent settings, where the goal is to divide a set of resources among agents in a fair manner. We study the case where m indivisible items need to be divided among n agents with additive valuations using the popular fairness notion of maximin share (MMS). An MMS allocation provides each agent a bundle worth at least her maximin share. While it is known that such an allocation need not exist, a series of work provided approximation algorithms for a 2/3-MMS allocation in which each agent receives a bundle worth at least 2/3 times her maximin share. More recently, Ghodsi et al. [EC'2018] showed the existence of a 3/4-MMS allocation and a PTAS to find a (3/4-ε)-MMS allocation for an ε> 0. Most of the previous works utilize intricate algorithms and require agents' approximate MMS values, which are computationally expensive to obtain. In this paper, we develop a new approach that gives a simple algorithm for showing the existence of a 3/4-MMS allocation. Furthermore, our approach is powerful enough to be easily extended in two directions: First, we get a strongly polynomial-time algorithm to find a 3/4-MMS allocation, where we do not need to approximate the MMS values at all. Second, we show that there always exists a (3/4 + 1/(12n))-MMS allocation, improving the best previous factor. This improves the approximation guarantee, most notably for small n. We note that 3/4 was the best factor known for n> 4.

研究の動機と目的

• 計算的に高コストなMMS値の近似に依存せずに、$\frac{3}{4}$-MMS配分を効率的に計算するという未解決問題に取り組む。
• 特にエージェント数が少ない場合に、MMS配分の既存の最良近似要因を $\frac{3}{4}$ を超えて改善すること。
• 明快で直感的な枠組みを用いて、$\frac{3}{4}$-MMS配分の存在を示す、単純で組合せ的なアルゴリズムを開発すること。
• このアプローチを拡張し、$\frac{3}{4} + \frac{1}{12n}$ のタイトな近似保証を導出し、その最適性を示すこと。
• 任意の $\epsilon > 0$ に対して、$(\frac{3}{4} + \frac{1}{12n} - \epsilon)$-MMS配分を求めるためのPTASを提供すること。

提案手法

• あるエージェントによって $\frac{3}{4}$ 以上の価値を持つ高価値アイテムを、ピッケルホールの原理を用いて貪欲に割り当てることで、残りの高価値アイテム数を $n'$ 個の残りエージェントに対して最大 $2n'$ 個に削減する。
• 各エージェントのMMS値が1になるように評価をスケーリングすることで、この正規化された基準に基づくバンドル価値の明確な分析を可能にする。
• 残りのアイテムを割り当てるためにバッグフィリング手順を用い、エージェントの評価に基づいてバンドルを低価値、中価値、高価値のカテゴリに細かく分類する。
• 価値が $\frac{5}{8} + \gamma$ よりも高いアイテムを1つだけ含むバンドルに対して、$\gamma = \frac{1}{12n}$ としてダミーのアイテムを導入し、分析中に価値の上限を維持する。
• 低価値アイテムのための値の閾値 $y$ を用いるという、重要な技術的革新により、小さなアイテムですら公平性基準に意味的に寄与することを保証する。
• 高価値バンドルの数 $t_1$ に基づくケース分析を用いて理論的境界を導出し、$t_1 = 0$ と $t_1 > 0$ の場合に別々に取り扱い、エージェント $a$ の最終配分における価値の下界を $x_a + \frac{l_a}{8}$ として得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MMS値の近似に依存せずに、MMS値の近似に依存せずに、$\frac{3}{4}$-MMS配分を達成するより単純で効率的なアルゴリズムが可能か？
• RQ2 特に $n$ が小さい場合に、$\frac{3}{4}$ を超える近似要因を達成することは可能か？
• RQ3 提案された手法は、MMS値のPTASに依存せずに、$\frac{3}{4}$-MMS配分のための強多項式時間アルゴリズムを提供できるか？
• RQ4 近似要因を、漸近的または正確に最適な値にまで高めることは可能か？
• RQ5 この枠組みを拡張し、$n > 4$ の場合に $\frac{3}{4}$ を超えるMMS配分を達成できるか？

主な発見

• 本稿では、$(\frac{3}{4} + \frac{1}{12n})$-MMS配分の存在を確立し、以前の最良要因 $\frac{3}{4}$ を上回る。
• 近似要因 $\frac{3}{4} + \frac{1}{12n}$ はタイトである。これは、同じ仮定のもとで、これ以上の要因は達成できないことを意味する。
• MMS値の近似を一切必要としない強多項式時間アルゴリズムが開発され、$\frac{3}{4}$-MMS配分を計算可能である。
• アルゴリズムは概念的に単純で、高価値アイテムの貪欲な割り当てと、ダミーのアイテムを用いた価値のバランス調整を施した洗練されたバッグフィリング技術に依存する。
• このアプローチにより、任意の $\epsilon > 0$ に対して、$(\frac{3}{4} + \frac{1}{12n} - \epsilon)$-MMS配分を求めるためのPTASが得られ、以前のPTAS構築を上回る。
• 分析により、最終配分において各エージェントは少なくとも $x_a + \frac{l_a}{8} - \frac{1}{8}$ の価値を獲得することが示され、これが改善された境界の根拠となる。