[論文レビュー] Anomaly inflow and $p$-form gauge theories

Chang-Tse Hsieh, Yuji Tachikawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 120被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、$p$-形式ゲージ理論（非可換および可換を含む）における異常を、境界異常が1つ次元高いトポロジカルな理論の分配関数から生じる異常流入メカニズムを用いて体系的に理解するフレームワークを提供する。主な貢献は、アティヤ＝パピロス＝シンガーの$\eta$-不変量を用いて、これらの異常を明示的に計算したことである。これにより、4次元マクスウェル理論における$\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$異常を導出し、オルビフォールド、オリエンタフォールド、およびS-フォールドの背景におけるDブレーンおよびM5ブレーンの世界面理論を分析した。

ABSTRACT

Chiral and non-chiral $p$-form gauge fields have gravitational anomalies and anomalies of Green-Schwarz type. This means that they are most naturally realized as the boundary modes of bulk topological phases in one higher dimensions. We give a systematic description of the total bulk-boundary system which is analogous to the realization of a chiral fermion on the boundary of a massive fermion. The anomaly of the boundary theory is given by the partition function of the bulk theory, which we explicitly compute in terms of the Atiyah-Patodi-Singer $η$-invariant. We use our formalism to determine the $\mathrm{SL}(2,{\mathbb Z})$ anomaly of the 4d Maxwell theory. We also apply it to study the worldvolume theories of a single D-brane and an M5-brane in the presence of orientifolds, orbifolds, and S-folds in string, M, and F theories. In an appendix we also describe a simple class of non-unitary invertible topological theories whose partition function is not a bordism invariant, illustrating the necessity of the unitarity condition in the cobordism classification of the invertible phases.

研究の動機と目的

• 可換および非可換$p$-形式ゲージ場における異常を、異常流入メカニズムを用いて統一的に記述すること。
• 境界異常を$d+1$次元のバルクトポロジカル理論の分配関数として計算すること。
• $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$グローバル異常を、この形式論を用いて4次元マクスウェル理論で計算すること。
• 弦理論、M理論、F理論の背景におけるオリエンタフォールド、オルビフォールド、S-フォールドの下で、DブレーンおよびM5ブレーンの世界面理論の異常構造を分析すること。
• ユニタリティが可逆トポロジカル位相相のボルドゥルム分類において必要不可欠であることを示し、非ユニタリな反例を構成することでその必要性を示すこと。

提案手法

• 微分コホモロジーとねじれ係数を用いた$p$-形式ゲージ場およびその異常を記述する形式論。
• バルク理論の分配関数を計算するためのアティヤ＝パピロス＝シンガーの$\eta$-不変量の使用。この不変量は境界異常を符号化する。
• シグニチャ指数定理および等変指数定理を用いて、レンズ空間およびオルビフォールド上の$\eta$-不変量を計算。
• $d+1$次元におけるチェーン＝シモンズ型バルク理論の構成。この理論の境界に、非可換$p$-形式場が実現される。
• 指数定理と$\mathcal{T}^*_{+}$および$\mathcal{T}^*_{-}$バンドル間の$\eta$-不変量の差を用いて異常多項式を導出。
• APS指数定理を用いて、異常と特性類（エーラー類$E$およびパンツリニ類$p, p'$）との関係を確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $d=2p+2$次元における非可換$p$-形式ゲージ場の異常は、バルク境界異常流入を用いてどのように体系的に計算可能か？
• RQ2 アティヤ＝パピロス＝シンガーの$\eta$-不変量は、バルク理論の分配関数の計算および境界異常との関係において、果たす役割は何か？
• RQ3 4次元マクスウェル理論における$\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$双対性異常は、どのようにバルクトポロジカル理論から生じるか？
• RQ4 オリエンタフォールド、オルビフォールド、S-フォールドは、DブレーンおよびM5ブレーンの世界面理論の異常構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 なぜユニタリティは、可逆トポロジカル位相相のボルドゥルム分類において必要不可欠であり、非ユニタリな例はどのようにこの分類を破壊するのか？

主な発見

• 非可換$p$-形式場の$d=2p+2$次元における異常は、チェーン＝シモンズ型バルク理論の分配関数として計算され、$\eta$-不変量が正確な異常位相を提供する。
• 4次元マクスウェル理論において、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$双対性異常は、レンズ空間上の$\eta$-不変量を用いて計算され、オイラー乗数が1の半球面に対して非自明な位相因子$-1$をもたらす。
• 理論の異常多項式は$\frac{1}{2}(E + I(p,p'))$として与えられ、閉多様体上で整数値特性類となる。これにより異常キャンセレーションが保証される。
• 本形式論は、O3平面背景におけるD3ブレーンおよびO2平面背景におけるD4ブレーンの異常を、適切なオルビフォールド上の$\eta$-不変量を用いて成功裏に計算した。
• 本稿では、分配関数がボルドゥルム不変量でない非ユニタリな可逆トポロジカル場理論を構成し、ユニタリティが可逆位相相のボルドゥルム分類において本質的であることを示した。
• $\eta$-不変量の差$\eta(\mathcal{D}_{Y,\mathcal{T}^*_{+}}) - \eta(\mathcal{D}_{Y,\mathcal{T}^*_{-}})$は、ディラック作用素の指数およびオイラー特性類$E$に関連しており、$d+1=3,7,11$に対して明示的な公式が導出された。