[論文レビュー] Anticyclotomic p-ordinary Iwasawa Theory of Elliptic Modular Forms

Kâzım Büyükboduk, Antonio Lei|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$p$ が分解する虚二次体上での、重さ $k \geq 2$ の楕円モジュラー形式について、$p$-通常の反対称 $p$-adic Iwasawa 主予想を、Beilinson-Flach 要素と明示的再帰法則を用いて確立する。$p$-adic $L$-関数が双対セレマー群の特徴多項式イデアルに属することを証明し、Euler システム技法と $p$-adic 高さ対合を用いて、非 CM で $p$-通常の形式への古典的結果の拡張を達成する。

ABSTRACT

This is the first in a series of articles where we will study the Iwasawa theory of an elliptic modular form f along the anticyclotomic Zp-tower of an imaginary quadratic field K where the prime p splits completely. Our goal in this portion is to prove the Iwasawa main conjecture for suitable twists of f assuming that f is p-ordinary, both in the definite and indefinite setups simultaneously, via an analysis of Beilinson-Flach elements.

研究の動機と目的

• 虚二次体の反対称 $\mathbb{Z}_p$-拡大上での $p$-通常の楕円モジュラー形式の Iwasawa 主予想を確立すること。
• CM 形式や楕円曲線に関する先行結果を、Euler システムとしての Beilinson-Flach 要素を用いて、非 CM で $p$-通常のモジュラー形式へ拡張すること。
• Rankin-Selberg $L$-関数と $p$-adic $L$-関数に基づく一様な枠組みにより、反対称 Iwasawa 理論における定義的および不定的ケースを統一すること。
• 反対称 $p$-adic 高さ対合に関して、Beilinson-Flach 要素の円周的微分を用いた Rubin 形式の証明こと。

提案手法

• 結果 [KLZ15a] を用いて、Rankin-Selberg 積分から $K$ 上の Beilinson-Flach クラスの Euler システムを構成する。
• Coleman 写像と明示的再帰法則を適用し、Beilinson-Flach 要素と $p$-adic $L$-関数を関連付ける。
• 反対称塔における $p$-adic 高さ対合を用いて、Beilinson-Flach 要素の微分と $p$-adic $L$-関数を関連付ける。
• Coleman-Perrin-Riou 写像を用いて、Euler システムの円周的微分と $p$-adic $L$-関数 $\mathfrak{L}_{f,1}^{(\alpha)}$ を関連付ける。
• Nekovář の $p$-adic 高さ対合理論と Tate 対称性を用いて、反対称設定における Rubin 形式を導出する。
• $p$-adic $L$-関数とセレマー群の特徴多項式イデアルの間の整除性を確立し、追加の仮定のもとで等式に昇格する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p$ が分解する虚二次体上での、$p$-通常で非 CM のモジュラー形式に対する反対称 Iwasawa 主予想は成立するか？
• RQ2 Beilinson-Flach 要素を用いて、反対称 $\mathbb{Z}_p$-拡大におけるセレマー群を制御する Euler システムを構成できるか？
• RQ3 反対称設定において、Beilinson-Flach 要素の微分と $p$-adic $L$-関数を関連付ける $p$-adic 高さ対合の公式は存在するか？
• RQ4 セレマー群の特徴多項式イデアルへの $p$-adic $L$-関数の包含関係が等式に昇格する条件は何か？
• RQ5 $\mathfrak{p}^c$ における局所条件は、セレマー群および $p$-adic $L$-関数の構造にどのように影響するか？

主な発見

• $p$-adic $L$-関数 $\mathfrak{L}_{f,1}^{(\alpha)}$ がイデアル $\mathfrak{Reg}_{\textup{ac}} \cdot \mathrm{char}(\mathfrak{X}(f\otimes\alpha/D_{\infty})_{\textup{tor}}) \otimes_{\Lambda_{\textup{ac}}^{\mathfrak{o}}} \mathcal{R}_{L}^{\textup{ac}}$ に属することを示し、レジスタ要因を除いて主予想を証明する。
• 追加の仮定（$N$ が平方因子なし、$\rho_f$ が $N^-$ を割る素数で分岐、重さ2条件）のもとで、包含関係が等式に昇格する：$\mathfrak{L}_{f,1}^{(\alpha)}$ はセレマー群の特徴多項式イデアルを生成する。
• Beilinson-Flach 要素の円周的微分 $\mathfrak{d}\textup{BF}_{D_{\infty}}$ が Coleman-Perrin-Riou 写像のもとで $\mathfrak{L}_{f,1}^{(\alpha)}$ に写されることが示された。
• Rubin 形式が確立された：反対称 $p$-adic 高さ対合は $\mathfrak{h}^{\textup{ac}}_p(\textup{BF}_{D_{\infty}}, \mathfrak{y}) = -\langle \mathfrak{d}\textup{BF}_{D_{\infty}}, \textup{res}_{\mathfrak{p}^c}(\mathfrak{y}) \rangle_{\textup{Tate}}$ を満たし、高さ対合と Euler システムの微分を結びつける。
• Beilinson-Flach 要素の Euler システムの $K$ 上の構成は、[KLZ15a] の一般化により達成され、高重量および非 CM 形式へ手法が拡張された。
• 証明は、反対称 Beilinson-Flach Euler システムの非消滅性に依存し、これは $p$-adic $L$-関数の非自明性と明示的再帰法則により確立される。