[論文レビュー] Approximating local properties by tensor network states with constant bond dimension

Yichen Huang|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2019

Quantum many-body systems参考文献 36被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、Rényi自己相関エントロピー（Rényi指数 α < 1）の面積則を満たす量子多体状態が、結合次元に上限のあるテンソルネットワーク状態によって近似可能であることを確立している。1次元では、多項式的（1/δ）の結合次元を有する行列積状態（MPS）が、すべての局所的性質を精度 δ で近似可能である。2次元では、指数的かつ小さい結合次元 e^{O(1/δ)} を有する投影エンタングルペア状態（PEPS）が同様の精度を達成する。これらの結果は、面積則に対数補正が加わった状態にも拡張可能である。

ABSTRACT

Suppose we would like to approximate all local properties of a quantum many-body state to accuracy $δ$. In one dimension, we prove that an area law for the Renyi entanglement entropy $R_α$ with index $α&lt;1$ implies a matrix product state representation with bond dimension $\mathrm{poly}(1/δ)$. For (at most constant-fold degenerate) ground states of one-dimensional gapped Hamiltonians, it suffices that the bond dimension is almost linear in $1/δ$. In two dimensions, an area law for $R_α(α&lt;1)$ implies a projected entangled pair state representation with bond dimension $e^{O(1/δ)}$. In the presence of logarithmic corrections to the area law, similar results are obtained in both one and two dimensions.

研究の動機と目的

• 与えられた精度 δ に対して、量子多体状態の局所的観測量を近似するのに必要な結合次元の厳密な上限を確立すること。
• 特に熱力学的極限において、面積則と効率的なテンソルネットワーク近似の間のギャップを解消すること。
• 1次元のギャップがあるハミルトニアンの基底状態に対して、結合次元が 1/δ に対してほぼ線形に増加することを示すこと。
• これらの結果を、面積則に対数補正が加わった系にまで拡張し、1次元および2次元における境界を提供すること。
• von Neumann自己相関エントロピーによる境界が成立しない場合でも、行列積状態（MPS）および投影エンタングルペア状態（PEPS）が、局所的性質を効率的に表現できることを示すこと。

提案手法

• 自己相関エントロピー Rα（α < 1）を用いて、von Neumann自己相関エントロピーよりも境界を出しやすいように、もつれの尺度を定義する。
• システムの局所的領域に対して切断を適用し、補題2を用いて、切断後の局所的観測量の期待値における誤差を境界づける。
• 2次元では、局所的近似（小さなブロックにおけるMPS）をタイル状に配置し、等長写像を用いて局所的状態を結合次元を制御できるグローバルなPEPSに写像する。
• ユニタリを用いた周期的タイリング構成により、局所的誤差を平均化し、すべての局所的観測量に対してグローバルな忠実度が δ 以内に保証されるようにする。
• MPSの標準形を用いて最適な切断を保証し、Rényi自己相関エントロピーの制約に基づいてスレート係数を境界づける。
• 面積則に対数補正を加えるために、切断次元 D′ のスケーリングを調整し、最終的な結合次元に多項対数因子を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Rényi自己相関エントロピー（α < 1）の面積則が、結合次元に上限のあるテンソルネットワークによる局所的性質の効率的近似を保証するか？
• RQ2 1次元量子状態のすべての局所的観測量を精度 δ で近似するための、行列積状態（MPS）に必要な最小結合次元は何か？
• RQ3 同様のもつれ条件のもとで、2次元における投影エンタングルペア状態（PEPS）に対しても同様の境界が成り立つか？
• RQ4 面積則に対数補正が加わると、正確な近似に必要な結合次元にどのような影響が生じるか？
• RQ5 熱力学的極限において、von Neumann自己相関エントロピーの面積則が成立しない場合でも、局所的観測量に対して結合次元を系のサイズに依存させずに保てるか？

主な発見

• 1次元では、Rényi自己相関エントロピー（α < 1）の面積則が、精度 δ ですべての局所的性質を近似可能な、多項式的（1/δ）の結合次元を有するMPS近似を示唆する。
• 1次元のギャップがあるハミルトニアンの（高々定数倍の degeneracy を有する）基底状態に対して、必要な結合次元は 1/δ に対してほぼ線形に増加する。
• 2次元では、Rα（α < 1）の面積則が、精度 δ に対して指数的かつ小さい結合次元 e^{O(1/δ)} を有するPEPS近似を示唆する。
• 対数補正が存在する場合、1次元のMPSの結合次元は、補正係数 cα に依存するべき多項式的（1/δ）のべき乗に比例して増加する。
• 2次元で対数補正が加わった場合、PEPS近似の結合次元は e^{~O(1/δ)} に比例し、~O は多項対数因子を隠している。
• タイル状に局所的MPS近似を配置し、等長写像とユニタリ平均化を用いることで、結合次元を制御しながらグローバルな精度を達成する構成がなされている。