[論文レビュー] Asymmetric Number Partitioning with Splitting and Interval Targets

Samuel Bismuth, Erel Segal-Halevi+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2022

Scheduling and Optimization Algorithms被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、分割と区間型の目標を伴う非対称な数分割問題を研究し、3つの変種を導入する：分割可能なアイテム、制限付きの分割回数、区間ベースの意思決定問題。固定された n ≥ 3 に対して、s ≥ n−2（分割可能なアイテム）、t ≥ n−1（分割回数）、u ≥ (n−2)/n（区間型の目標）のとき、多項式時間で解けることが示され、それ以外の場合は強いNP完全性を示す。これらの結果は、割当比を持つ非対称なエージェントへの公平配分とスケジューリングの一般化を実現する。

ABSTRACT

The n-way number partitioning problem is a classic problem in combinatorial optimization, with applications to diverse settings such as fair allocation and machine scheduling. All these problems are NP-hard, but various approximation algorithms are known. We consider three closely related kinds of approximations. The first two variants optimize the partition such that: in the first variant some fixed number s of items can be split between two or more bins and in the second variant we allow at most a fixed number t of splittings. The third variant is a decision problem: the largest bin sum must be within a pre-specified interval, parameterized by a fixed rational number u times the largest item size. When the number of bins n is unbounded, we show that every variant is strongly NP-complete. When the number of bins n is fixed, the running time depends on the fixed parameters s,t,u. For each variant, we give a complete picture of its running time. For n = 2, the running time is easy to identify. Our main results consider any fixed integer n ≥ 3. Using a two-way polynomial-time reduction between the first and the third variant, we show that n-way number-partitioning with s split items can be solved in polynomial time if s ≥ n-2, and it is NP-complete otherwise. Also, n-way number-partitioning with t splittings can be solved in polynomial time if t ≥ n-1, and it is NP-complete otherwise. Finally, we show that the third variant can be solved in polynomial time if u ≥ (n-2)/n, and it is NP-complete otherwise. Our positive results for the optimization problems consider both min-max and max-min versions. Using the same reduction, we provide a fully polynomial-time approximation scheme for the case where the number of split items is lower than n-2.

研究の動機と目的

• 同一のバインに代えて割当比を持つ非対称なバインを用いた古典的な数分割を一般化し、不平等な要求を持つエージェントに対する公平配分を可能にする。
• 固定された分割可能なアイテム数、制限付きの分割回数、区間ベースの意思決定問題という3つの緩和された変種の計算複雑性を分析する。
• パラメータ s（分割可能なアイテム数）、t（分割回数）、u（区間型の目標）に基づいて、多項式時間解法の成立する厳密な閾値を同定する。
• 同一バインに対する既存の肯定的結果を非対称な設定に拡張し、固定された n ≥ 3 に対して完全な複雑性の図を提供する。

提案手法

• Dec-SplitItem[n,s]、Dec-Splitting[n,t]、およびパラメータ u を用いた区間型の目標を伴う意思決定問題という3つの新しい変種を導入する。
• 分割可能なアイテムと区間型の目標の変種の間で二方向の多項式時間還元を用い、複雑性の等価性を確立する。
• 非対称な最小最大化問題を解くために完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）を適用し、主アルゴリズムの実行時間を O(m^4 log AS) で抑えられる。
• アイテム総和と精度パラメータ ϵ に依存する L を用いた動的計画法フレームワークを採用し、状態空間のサイズを L^n で抑えられる。
• 3分割問題への還元を用いて、パラメータが臨界閾値を下回る場合に強いNP完全性であることを証明する。
• 相対的合計とアイテムサイズの上限を用いてバインの占有状況とアイテムの分布を分析し、1バインあたりのアイテム数にタイトな境界を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 s（分割可能なアイテム数）がどのような条件下で、非対称なバインを用いた n 方向の数分割問題が多項式時間で解けるか？
• RQ2 t（分割回数の上限）が与えられた場合、問題が多項式時間で解ける条件は何か？また、いつNP完全性に陥るか？
• RQ3 区間型の目標を伴う変種では、u のどの閾値において問題が多項式時間で解けるようになるか？
• RQ4 同一バインから非対称なバイン（割当比付き）に移行した場合、複雑性の結果はどのように変化するか？
• RQ5 同一バインに対する肯定的結果は、非対称な最小最大化および最大最小の目的関数へ一般化可能か？

主な発見

• 固定された n ≥ 3 に対して、s 個の分割可能なアイテムを許容する n 方向の数分割問題は、s ≥ n−2 のとき多項式時間で解けるが、それ以外の場合は強いNP完全性を示す。
• t 回までの分割が許容される場合、t ≥ n−1 ならば多項式時間で解けるが、それ以外の場合はNP完全性を示す。
• 区間型の目標を伴う変種は、u ≥ (n−2)/n のとき多項式時間で解けるが、それ以外の場合は強いNP完全性を示す。
• 主アルゴリズムの実行時間は O(m^4 log AS) であり、m はアイテム数、AS は合計和を表す。
• 2バインの場合、各バインのアイテム数はタイトに制限されており、制約下で各バインのアイテム数として許容される値は最大1つである。
• パラメータ s、t、u に基づいて、多項式時間解法の成立とNP完全性の完全な二分法を本稿は確立した。