[論文レビュー] Average $2$-Torsion in Class Groups of Rings Associated to Binary $n$-ic Forms

Ashvin Swaminathan|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、固定された奇数の先頭係数を持つ整数係数の二進 $n$-次形式で定義される環および体の類群における2-torsionの平均サイズの上界を計算し、立方およびモニック形式に関する先行研究を拡張する。一様性推定に条件づけると、これらの上界が正確であることが示され、$n$ が奇数のとき、先頭係数を固定することで2-torsionが増加することが明らかになり、$n$ が偶数のとき、$p \mid n > 2$ である $p$-torsion について初めての結果が得られる。

ABSTRACT

Let $n \geq 3$ be an integer. In this paper, we study the average behavior of the $2$-torsion in class groups of rings cut out by integral binary $n$-ic forms having any fixed odd leading coefficient. Specifically, we compute upper bounds on the average size of the $2$-torsion in class groups of rings and fields arising from such binary forms. Conditional on a uniformity estimate, we further prove that each of these upper bounds is in fact an equality. Our theorems extend recent work of Bhargava-Hanke-Shankar in the cubic case and of Siad in the monic case to binary forms of any degree with any fixed odd leading coefficient. When $n$ is odd, we find that fixing the leading coefficient increases the average $2$-torsion in the class group, relative to the prediction of Cohen-Lenstra-Martinet-Malle. When $n$ is even, such predictions are yet to be formulated; together with Siad's results in the monic case, our theorems are the first of their kind to describe the average behavior of the $p$-torsion in class groups of degree-$n$ rings where $p \mid n > 2$. To prove these theorems, we first answer a question of Ellenberg by parametrizing square roots of the class of the inverse different of a ring cut out by a binary form in terms of the integral orbits of a certain coregular representation. This parametrization has a range of interesting applications, from studying $2$-parts of class groups to studying $2$-Selmer groups of hyperelliptic Jacobians.

研究の動機と目的

• 固定された奇数の先頭係数を持つ整数係数の二進 $n$-次形式から生じる環および体の類群における2-torsionの平均サイズを特定すること。
• 立方およびモニック形式に関する先行結果を $n \geq 3$ および任意の固定された奇数の先頭係数へ一般化すること。
• 先頭係数を固定することの平均2-torsionに与える影響を、特にCohen-Lenstra-Martinet-Malle予想と比較して調査すること。
• $p \mid n > 2$ かつ $n$ が偶数である場合に、初めての体系的記述を提供すること。
• Ellenbergの質問に答え、コアレギュラー表現の整数軌道を用いて逆微分の平方根をパラメトライズすること。

提案手法

• コアレギュラー表現の整数軌道を用いて、二進 $n$-次形式によって切り出される環の逆微分の平方根をパラメトライズする。
• このパラメトライズを用いて、関連する環の類群における2-torsionの構造を分析する。
• 一様性推定を適用することで、平均2-torsionサイズに対する導出された上界が鋭い、すなわち等号であることを証明する。
• 立方の場合のBhargava-Hanke-Shankarおよびモニックの場合のSiadの技術を、固定された奇数の先頭係数を持つ非モニック設定に一般化する。
• パラメトライズを活用して、類群の2-torsionを、特に2-Selmer群を含む双曲的ヤコビアンの算術的不変量と結びつける。
• 平均2-torsionサイズが、特に $n$ が奇数のとき、先頭係数に依存することを確立する。Cohen-Lenstra-Martinet-Malle予想とは対照的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二進 $n$-次形式の先頭係数を固定することは、関連する環の類群における2-torsionの平均サイズにどのように影響するか？
• RQ2 固定された奇数の先頭係数を持つ整数係数の二進 $n$-次形式で定義される環の類群における2-torsionの平均サイズの上界は何か？
• RQ3 これらの上界が正確であることが示される条件は何か？
• RQ4 $n$ が奇数か偶数かに応じて2-torsionの振る舞いはどのように異なるのか。特に、既存の予想と照らし合わせて。
• RQ5 逆微分の平方根は、コアレギュラー表現の整数軌道を用いてパラメトライズ可能か。その算術的帰結は何か？

主な発見

• 本稿は、固定された奇数の先頭係数を持つ整数係数の二進 $n$-次形式から生じる環の類群における2-torsionの平均サイズの上界を確立する。
• 一様性推定に条件づけると、これらの上界が正確であることが証明され、正確な漸近平均が得られる。
• $n$ が奇数のとき、先頭係数を固定することで、Cohen-Lenstra-Martinet-Malle予想と比較して平均2-torsionが増加する。
• $n$ が偶数のとき、$p \mid n > 2$ である $p$-torsion の平均的振る舞いについて、初めての既知の記述が得られる。
• コアレギュラー表現の整数軌道による逆微分の平方根のパラメトライズは、主要な技術的道具であることが確立された。
• このパラメトライズは、類群の研究を越えて、特に双曲的ヤコビアンの2-Selmer群の研究への応用を可能にする。