[論文レビュー] Braid Monodromy of Hypersurface Singularities

Michael Lönne|ArXiv.org|Feb 17, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、平面曲線の古典的手法を高次元的特異点へ一般化するため、普遍展開と特異点判別式のファイブレーションを用いて、超曲面特異点のブレードモノドロミー理論を構築する。特異点の判別式の補集合の基本群がブレードモノドロミー不変量によって記述されることを確立し、ヘーフェツ＝ラツェリのパス系とモノドロミー誘導を用いて、非単純特異点へのアーティン＝ブリースコーフ群構造の拡張を達成する。

ABSTRACT

We introduce braid monodromy for the discriminant hypersurface in versal unfoldings of hypersurface singularities. Our objective is then to compute this invariant for singularities of Brieskorn Pham type: First we consider the unfolding by linear monomials in some detail and relate it to the versal unfolding. Next we present the A_n case in our framework. The two main chapters then provide the result in case of two variables and the inductive step to all higher dimensions. We finish with a presentation of the fundamental group of the discriminant complement.

研究の動機と目的

• 平面代数的曲線のブレードモノドロミー理論を、高次元の超曲面特異点へ拡張すること。
• 普遍展開の判別式補集合上にファイブレーションを構成し、それが穴あき円板をファイバーとするファイバー束であることを示すこと。
• 単純特異点（ADE型）を超える任意の特異点へと、判別式補集合の基本群の計算を一般化すること。
• ヘーフェツ＝ラツェリのパス系とブレード同値関係を用いて、モノドロミーに基づく基本群の提示を確立すること。
• 低次元モデルからの誘導を用いて、高次元における判別式および分岐集合補集合の基本群を計算するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 特異点の正則関数芽の普遍展開を用いて、展開パラメータの基底空間上に判別式ファイブレーションを構成する。
• 多項式被覆とBr_n-バンドルの概念を適用し、判別式ファイブレーションのファイバー上のモノドロミー作用をモデル化する。
• 「l-同伴モデル」と「l-同伴モノドロミー」の概念を導入し、低次元から高次元へのブレードモノドロミー情報の帰納的持ち上げを可能にする。
• ヘーフェツ＝ラツェリのパス系を用いて、判別式補集合内のループの標準的基底を定義し、明示的なブレードモノドロミー計算を可能にする。
• ザリスキとヴァン・カムペンの定理を適用し、ブレードモノドロミー生成子を用いて判別式補集合の基本群を提示する。
• ブレード生成子の共役不変性と対称的関係を用いて、異なるモノドロミー提示の同型性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてブレードモノドロミー理論を平面曲線から高次元の超曲面特異点へ一般化できるか？
• RQ2 非単純特異点の判別式補集合の基本群の構造はいかなるものか？
• RQ3 普遍展開とパラメータ空間上のファイブレーションを用いて、超曲面特異点のブレードモノドロミーを計算できるか？
• RQ4 ヘーフェツ＝ラツェリのパス系とケーブルねじれは、高次元設定におけるモノドロミー生成子とどのように関係するか？
• RQ5 異なるブレードモノドロミー提示が同型な基本群を定義するための条件は何か？

主な発見

• 判別式への射影の制限は、μ個の穴があいた円板に微分同相なファイバーを持つファイバー束であり、その同型型は特異点の右同値類にのみ依存する。
• A_n型特異点に対しては、対称的関係と共役不変性を用いてブレードモノドロミーを明示的に計算し、基本群の提示を得る。
• 判別式補集合の基本群は、特定のねじれとサブケーブルブレードによって生成されるブレードモノドロミー群と同型である。
• 本稿では、σおよびδ生成子を含む特定のブレード語が、σ²の特定の積の下で共役であることを証明し、モノドロミー変換における不変性を確立する。
• ブレード群の元のフィルター付き集合における生成子の変更のための基準が確立され、異なるモノドロミー提示の同値性が可能になる。
• l-同伴モデルによるブレードモノドロミー誘導の方法により、低次元から高次元へのモノドロミー情報の転送が可能となり、単純特異点からの既知の結果が一般化される。